$\sum_{n=1}^{\infty} \frac {\sin(nx)}{\sqrt{n}}$ convergencia uniforme en $[0,2\pi]$

Question

Sea $\sum_{n=1}^{\infty} \frac {\sin(nx)}{\sqrt {n}}$ sea una serie de funciones.
¿Cómo puedo demostrar que no es uniformemente convergente en $[0,2\pi]$ ?
Pensé en la serie $\sum_{n=1}^{\infty} \frac {\sin(n\pi/2)}{\sqrt {n}}$ que está dentro del rango pero no es convergente. ¿Es suficiente para refutarlo?
¿Hay alguna manera más formal?

Answer 1

Observe que $$\sum_{n\geq 1}\frac{\sin(n\pi/2)}{\sqrt{n}}$$ es convergente mediante la prueba de Dirichlet. Sin embargo, la convergencia uniforme implicaría convergencia en $L^2$ y el $L^2$ norma de $$\sum_{n=1}^{N}\frac{\sin(nx)}{\sqrt{n}}$$ crece sin límites. Como alternativa, se puede demostrar que $$ f(x)=\sum_{n\geq 1}\frac{\sin(nx)}{\sqrt{n}} $$ no está acotada ni es continua en $(0,2\pi)$ . Sin embargo, esto es mucho más difícil que demostrar que $f$ no es integrable al cuadrado.

Answer 2

$$\:\sin (nx)>\frac{\:1}{\sqrt2}\:,\:\:\:\forall x\in\left]\frac{2\pi}{n}(j+\frac{1}{4}),\frac{2\pi}{n}(j+\frac{3}{4})\right[=I_{j,n}\:\:\:\:(j,n)\in\mathbb N^2.$$

$$\implies \sum_{n\in\mathbf N}{\sin(nx)\over n^{\xi}}>\sum_{n\in\mathbf N}{1\over \sqrt {2}n^{\xi}}=\infty\quad \forall\xi\in\:]0,1],\:\forall x\in I_{j,n}.$$

Podemos ver $\: I_{j,n}\:$ como $\:x\:$ satisfaciendo $\:\:{\large{\pi\over4n}}<x-{\large{2\pi j\over n}}<{\large{3\pi\over4n}}.$

Si no, podemos utilizar la transformada de Abel: $$\mathcal H_n=\sum_{k=0}^na_kb_k,\:\:B_n=\sum_{k=0}^nb_k,\quad \forall k\le n\:\:a_k\in\mathbb R,\:b_k\in\mathbb C.\\\implies\mathcal H_n=a_nB_n-\sum_{k=0}^{n-1}(a_{k+1}-a_{k})B_k $$

En nuestro caso, $\:a_k=k^{-\xi}\implies\forall\xi\in\:]0,1]\quad \sum (a_{k+1}-a_k)\:$ es telescópica.

También, $\:B_k=\sum_{j=0}^k\sin(jx)=\mathcal Im\left(\sum_{j=0}^ke^{ji\phi} \right)\quad j\le k,\:i\in \mathbb C,\:\phi\in \mathbb R$

Ahora, $$B_k=\mathcal Im \left(\sum_{j=0}^ke^{ji\phi} \right)=\mathcal Im\left({1-e^{i\phi(n+1)}\over 1-e^{i\phi}}\right)=\mathcal Im\left({e^{ni\phi}\over e^{i\phi/2}}{e^{-ni\phi}-e^{i\phi}\over e^{-i\phi/2}-e^{i\phi/2}}\right)\\=\mathcal Im\left({e^{i\phi(n+1)}-1}\over 2i\sin(\phi/2)e^{i\phi/2} \right).$$

Por eso, siempre que $\:\phi\in\{0,2\pi\mathbb Z\},\:\mathcal H_n\:$ se vuelve ilimitada.