Modificado 2014-07-22 : Su fórmula para $n_h$ es incorrecto; los valores están en las proporciones correctas, pero, como ha señalado Dennis, has aplicado las proporciones al coste total. La fórmula sería correcta si hubieras sustituido el tamaño de la muestra por $n$ para $c$ pero, por supuesto, eso no se puede saber de antemano.
He aquí la solución presentada por Cochran, 1977, pp 97-98, que deriva la fórmula 1:
$$ \frac{n_h}{n} = \frac{N_h S_h /\sqrt{c_h}}{\sum_h (N_h S_h/\sqrt{c_h})} \quad \quad (1) $$
(Cochran, 1977, p. 98, Ec. 5.23)
para que
$$ n_h = n \frac{N_h S_h /\sqrt{c_h}}{\sum_h (N_h S_h/\sqrt{c_h})} \quad \quad $$
Aún no sabemos qué $n$ así que sustituye el $n_h$ anterior en la ecuación de costes:
\begin{equation} c = \sum_{h} c_h n_h \end{equation} (Cochran, p. 97, Ec. 5.17)
para obtener (Corregido 2014-07-22): $$ n = c \times \frac{\sum_h (N_h S_h /\sqrt{c_h})}{\sum_h (N_h S_h \sqrt{c_h})} $$ (Cochran, p. 98, Ec. 5.24)
Tenga en cuenta que $c$ es el variable coste. Un total real incluiría un coste fijo.
Ahora multiplica la Ec. 1 por $n$ para obtener el $n_h$ .
Una solución mucho más sencilla
Si crees que esto es demasiado complicado, estoy de acuerdo. Aquí tienes un método más sencillo. La clave de la simplificación es darse cuenta, a partir de la ecuación 1, de que
\begin{equation} n_h \propto {N_h S_h /\sqrt{c_h}} \quad \quad (2) \end{equation}
En otras palabras, el $n_h$ son proporcional en el lado derecho de la ecuación 2.
Creamos conjeturas preliminares para la $n_h$ Llámalos $n_h'$ que también son proporcionales al lado derecho de la ecuación 2. A continuación, hallamos el coste total $c'$ para la $n_h'$ en comparación con el coste objetivo $c$ (= 2.000 $) y corregir por su cociente.
La asignación más sencilla para $n_h'$ es el lado derecho de la ecuación 2:
\begin{equation} n_h' = {N_h S_h /\sqrt{c_h}} \end{equation}
Estos son: $n_1' = 15.732$ , $n_2' = 146.202$ y $n_3' = 518.809$ . Aplicación de los costes $c_1 = 40$ , $c_2 = 20$ y $c_3 = 10$ a éstos dan el coste total preliminar:
$$ c' = \$ 8,691.417 $$
Esto es demasiado alto, comparado con $c = \$ 2,000 $, so the $ n_h' $ are too big. To get the final values of the $ n_h $, deflate the preliminary values by $ c/c' = 0,230112 $. Multiplying each by $ c/c' $ yields $ n_1 = 3.620 $; $ n_2 = 33.643 $; and $ n_3 = 118.233 $. Rounding to the nearest whole number yields a total cost of \$ 2.020, todavía demasiado alto, así que redondea $n_2$ abajo para obtener los valores finales de $n_1 =4$ , $n_2 = 33$ y $n_3 = 118$ . Una comprobación muestra que el coste final es de 2.000 $, tal y como se requiere.
