Primaria prueba de que no hay paradójico descomposición utilizando piezas triangulares

Question

Soy docente de un curso de geometría y estoy tratando de entender dos definiciones en el libro de texto ("la Geometría de la Geometría Explorer" por Michael Hvidsten.)

Definición: El área de un rectángulo es de su base por su altura.

Definición: Si dos figuras pueden hacerse equivalentes, vamos a decir que tienen la misma área.

Aquí nos dice que dos figuras pueden hacerse equivalentes si cada uno puede ser dividido en el mismo número finito de polígonos (sin pérdida de generalidad, triángulos) que los pares correspondientes son congruentes. Tenga en cuenta que la "división" no significa precisamente "particiones" aquí, debido a que permiten a los bordes de los triángulos de la superposición.

A mí me parece que la primera definición es la definición de "área" en un caso especial, y la segunda definición es la definición de "tiene la misma área". Sin embargo, estamos claramente la intención de inferir que si dos rectángulos "tienen la misma área" en el segundo sentido, a continuación, tienen la misma "zona" en el primer sentido. Es obvio?

Por supuesto, uno puede demostrar que el uso de métodos analíticos porque los triángulos son Lebesgue medibles. Sin embargo, el curso dura un enfoque sintético de la geometría, por lo que sería mejor para evitar esto. Así que mi pregunta es la siguiente:

Hay una prueba en la escuela primaria sintético de la geometría que dos rectángulos $R$ $R'$ con diferentes valores de "base por altura" (por ejemplo, $1 \times 1$ $2 \times 1$ ) no puede ser dividido en un número finito de triángulos $T_i,\ldots,T_n$ $T'_1,\ldots,T'_n$ respectivamente, con $T_i \cong T'_i$ todos los $i \le n$?

Answer 1

Edit: La respuesta se refiere a el viejo título, "¿por Qué no hay de Banach-Tarski paradójico descomposición mediante triángulos?"

Nos dirigimos sólo a la pregunta del título, que es diferente de la cuestión en el cuerpo.

Hay un finitely aditivo "medida" en el avión que (i) se extiende la medida de Lebesgue y (ii) es invariante bajo rígidos movimientos. Así que supongo que $A$ y $B$ $A$ y $B$ tienen distintas medidas, con la medida de $A$ menos que en la medida de $B$. Entonces no podemos descomponer $A$ a un número finito de (arbitraria) de subconjuntos de y volver a montar estos para formar $B$.

Answer 2

Creo que lo que quiere es en el Capítulo 5 de Hartshorne del libro "la Geometría de Euclides y más Allá", que cubre Hilbert sintético de la teoría de la zona. El teorema que quieres es un ligero cambio en la redacción de la declaración de Andre post, a saber: hay un finitely aditivo función definida en todas las figuras en el plano que se extiende el estándar de "los tiempos de la longitud de la altura de" la fórmula del área de un rectángulo, y que es invariante bajo rígidos movimientos.

Aquí es un esquema de la prueba de este teorema. Una primera se deriva de la norma de "una base media veces la altura de la" fórmula de un triángulo. Entonces uno se subdivide cada figura en triángulos y añade sus áreas. Finalmente, se demuestra que el resultado está bien definido independiente de la subdivisión; este es el Lema 23.5 en Harshorne. He saltado algunos pasos de el contorno en el que demuestra los casos especiales de definedness, en el camino a la general de la prueba de definedness.

Answer 3

La mejor presentación que he visto de la presente, en un nivel elemental, es en el libro de Geometría. Una métrica enfoque con modelos, por Richard S. Millman y George D. Parker. (De hecho, había un hilo en Mathoverflow sobre un tema similar, años atrás, que es como he encontrado esta referencia. Por desgracia, no pude localizar el hilo de hoy. Pero usted debe buscar para él, ya que incluye bocetos y otras referencias.)

En Millman-Parker, que desea buscar en el Capítulo 10, de la Zona. El libro desarrolla la teoría de una manera que permite a los autores para tratar áreas (por regiones poligonales) para ambos Euclidiana y la geometría Hiperbólica, esencialmente simultáneamente, antes de especializarse en cada caso. De esta manera, en primer lugar identificar las características de un área de la función que debe cumplir, y, a continuación, proceder a demostrar en cada caso que, de hecho, hay esencialmente un único ejemplo de una función.

Para el Bolyai-Gerwein teorema de sí mismo, una vez que uno sabe que las áreas están bien definidos, la presentación que más me gusta es el uno en el Vagón del libro en el Banach-Tarski paradoja. El dibujo no deja un par de detalles, y para estos, la mejor presentación que conozco es en Howard Vísperas de Una encuesta de la geometría.

(Desafortunadamente, a pesar de primaria, el argumento de la Millman-Parker libro toma un tiempo para presentar cuidadosamente-y más aún si se incluye también la Bolyai-Gerwein teorema, que debería ser el caso. Sería bueno para iniciar una discusión que motiva la necesidad de que el desarrollo de la medida de Lebesgue con estos resultados, y luego de una discusión de Hilbert tercer problema, y Dehn de la solución. He intentado un boceto de una vez, pero no en detalle.)