Este fue preguntado en Quora. Lo pensé un poco, pero no hizo mucho progreso más allá de algunas evidentes los límites superior e inferior. La respuesta depende, probablemente, de CA y tal vez también GCH o de otros axiomas. Una búsqueda rápida no pudo dar respuestas.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Deje que $X$ ser cualquier conjunto de algunos infinito tamaño $\kappa$. Una topología en $X$ es un conjunto de subconjuntos de $X$. $X$ tiene $2^\kappa$ subconjuntos y hay $2^{2^\kappa}$ colecciones de subconjuntos de $X$. Este es un límite superior para el número de topologías en $X$.
Ahora, elegir un punto de $x_0\in X$ y dejar $Y=X\setminus\{x_0\}$. Dado que $X$ es infinito, $Y$ es de tamaño $\kappa$, demasiado. Deje que $\beta$ Y ser la Piedra-Čech compactification del espacio $Y$ con la topología discreta.
$\beta$ Y puede ser pensado como el espacio de todos los ultrafilters en $Y$, con la ultrafilter generado por un singleton $\{y\}$ identificado con $y$. $Y$ es denso en $\beta$ Y. El espacio $\beta$ Y es de tamaño $2^{2^\kappa}$. Por cada $y\in\beta Y\setminus de$ Y dejar que $\tau_y$ ser la topología en $X$ que hace que el mapa de asignación de $x\in S$ a $x$ y $x_0$ a $y$ en un homeomorphism.
Esto le da $2^{2^\kappa}$ topologías diferentes en el conjunto $X$. En el caso de que $X=\mathbb R$ obtenemos $2^{2^{2^{\aleph_0}}}$ topologías. (Wow!)
Ahora, pregunte acerca de las diferentes topologías, y estos son diferentes topologías, incluso bastante buenos, en términos de la separación de los axiomas. ¿Qué acerca de homeomorphism clases de topologías? Estoy casi seguro de que se puede construir a $2^{2^\kappa}$ ultrafilters en $Y$ que te dan $2^{2^\kappa}$ pares no homeomórficos topologías. Pero esto necesita un poco más de pensamiento.
Ok, pensé acerca de esto un poco más. Dejar de dólares y,z\in\beta Y\setminus Y$ y dejar que $f:(X,\tau_y)\a(X,\tau_{z})$ ser un homeomorphism.
Para ambas topologías, $x_0$ es el único que no está aislado de $X$.
Por lo tanto $f$ restringe a un bijection de $Y$ a $Y$.
Hay $2^\kappa$ bijections de $Y$ a $Y$.
De ello se sigue que para cada $y\in\beta Y\setminus de$ Y hay no mas de $2^\kappa$ puntos $z\in\beta Y\setminus Y$ que $(X,\tau_y)$ y $(X,\tau_z)$ son homeomórficos.
En otras palabras, en la clase de topologías de la forma $\tau_y$,
el homeomorphism clases de tamaño en más de $2^\kappa$.
Pero hay $2^{2^\kappa}$ topologías de este formulario. De ello se desprende que hay $2^{2^\kappa}$ pares no homeomórficos topologías sobre el conjunto $X$.
