derivada de la raíz cuadrada de la forma cuadrática con respecto a la matriz

Question

¿Cómo puedo calcular $ \frac{d\textit{$ \alfa $}}{d\boldsymbol{A}}$ para $$\textit{$ \alfa $} = \sqrt{\boldsymbol{x}^{\intercal}\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}}$$ donde $\alpha$ es un escalar, $\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^{n}$ y $\boldsymbol{A}\in\mathbb{R}^{n\times n}$ .

Disculpe si esta pregunta es directa. Estoy tratando de implementar un algoritmo y me encontré con esta ecuación. No estoy familiarizado con las derivadas matriciales y vectoriales. También, cualquier enlace a una introducción completa a la matriz / cálculo vectorial sería apreciada.

Answer 1

Definamos el producto de Frobenius por dos puntos y utilicemos su propiedad cíclica \begin{align} {\rm Tr}\left( A^T B C \right) &:= A: BC \\ &= AC^T: B \end{align}

Así que.., \begin{align} \alpha = \sqrt{x^T A x} \Longleftrightarrow \quad \alpha^2 = x^T A x \equiv x: Ax. \end{align}

Ahora, podemos utilizar diferenciales y luego obtener gradiente. \begin{align} 2 \alpha d\alpha &= x: dAx \\ &= xx^T:dA \\ \Longleftrightarrow d\alpha &= \frac{xx^T}{2 \alpha} :dA = \frac{xx^T}{2 \sqrt{x^T A x}} :dA \end{align}

El gradiente es \begin{align} \frac{\partial \alpha}{\partial A} = \frac{xx^T}{2 \sqrt{x^T A x}}. \end{align}

Answer 2

$x^\top A x$ puede escribirse como $\sum_i \sum_j a_{ij} x_i x_j$ . En esta forma, no es difícil ver cuál es la derivada parcial con respecto a $a_{ij}$ es para cualquier $i,j$ . Entonces $\frac{d}{dA}(x^\top A x)$ puede considerarse como una matriz formada por todas esas derivadas parciales.

Para hacer frente a $\sqrt{x^\top A x}$ puede utilizar la regla de la cadena habitual con el mapa $z \mapsto \sqrt{z}$ .