Sea $u\leq v$ sean dos funciones subarmónicas localmente acotadas en un dominio en $\mathbb{R}^n$ . Supongamos que $u=v$ en un subconjunto denso.
¿Es cierto que $u=v$ ¿en todas partes?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Este no es el caso. He aquí un contraejemplo en el caso en que $n=2$ .
Supongamos que $A$ es un subconjunto denso contable de $\mathbb{R}^{2}=\mathbb{C}$ . Sea $r_{a}>0$ para cada $a\in A$ y supongamos que $\sum_{a\in A}r_{a}\cdot(1+\max(0,\log(a)))<\infty$ .
Sea $p(z)=\sum_{a\in A}r_{a}\cdot\log(|z-a|)$ . Sea $s:\mathbb{C}\rightarrow(0,\infty)$ sea cualquier función subarmónica. Sea $q(z)=p(z)+s(z)$ . Entonces observe que $p(z)=q(z)=-\infty$ en un denso $G_{\delta}$ -set. En particular, $p=q$ en un conjunto denso. Las funciones $p,q$ no están acotadas localmente, pero podemos obtener funciones acotadas localmente a partir de $p,q$ .
La función $p$ no puede ser $-\infty$ en todas partes desde $$\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}p(re^{i\theta}+z_{0})d\theta=(\sum_{a\in A,|z_{0}-a|<r}r_{a})\cdot\log(r)+\sum_{a\in A,|z_{0}-a|>r}r_{a}\cdot\log(|z_{0}-a|)>-\infty.$$
De hecho, el conjunto $p^{-1}[\{-\infty\}]$ es un conjunto polar y los subconjuntos polares de $\mathbb{C}$ tienen dimensión de Hausdorff $0$ y, por tanto, la medida de Lebesgue también es cero.
Sea $u(z)=e^{p(z)},v(z)=e^{q(z)}$ . Como consecuencia de la desigualdad de Jensen, las funciones $u(z),v(z)$ son subarmónicos, localmente acotados y $u\leq v$ . Sin embargo, $u(z)=v(z)=0$ en un denso $G_{\delta}$ -y si $p(z)>-\infty$ entonces $p(z)<q(z)$ Así que $u(z)<v(z)$ .
El hecho de que $u(z)=v(z)=0$ en un denso $G_{\delta}$ -debe contrastarse con el hecho de que si $f,g$ son funciones subarmónicas que son iguales en casi todas partes, entonces $f=g$ .
