Normalizar la distribución normal generalizada

Question

¿Podría darnos una pista sobre cómo demostrar que la distribución normal generalizada está normalizada?

\begin{align} p(x\mid\mu,\alpha,\beta) = \frac{\beta}{2\alpha\Gamma(\frac{1}{\beta})}e^{-(|x-\mu|/\alpha)^\beta} \end{align}

Tal que así:

\begin{align} \int_{-\infty}^{+\infty} p(x\mid\mu,\alpha,\beta)\,dx = 1 \end{align}

Answer 1

Sin el valor absoluto, se suele denominar Distribución Gamma generalizada lo que nos da una pista de la solución: una variante Gamma $X$ se ha desplazado a una media $\mu$ (que no cambiará la constante de normalización), reescalada por $\alpha$ (que divide la constante de normalización por $\alpha$ como se puede ver), y luego toma el $\beta \gt 0$ potencia. El valor absoluto introduce una imagen especular de la distribución en los reales negativos, por lo que necesitamos dividir por $2$ .

Eso demuestra que sólo tenemos que comprobar que la integral

$$I(\beta)=\int_0^\infty \exp(-u^\beta) du$$

es igual a $\frac{1}{\beta} \Gamma\left(\frac{1}{\beta}\right)$ y sugiere fuertemente la sustitución $v=u^\beta$ de donde $$du = d(v^{1/\beta}) = \frac{1}{\beta}v^{1/\beta-1}dv$$ y

$$I(\beta) = \int_0^\infty \frac{1}{\beta}v^{1/\beta-1} e^{-v}dv = \frac{1}{\beta} \Gamma\left(\frac{1}{\beta}\right),$$

QED .