evalúa la siguiente integral

Question

$$ \int J_0(x)\sin x~{\rm d}x $$

Dónde $J_0$ es una función de Bessel de primer orden $0$

Esto es lo que he probado

$$ \int J_0(x)\sin x~{\rm d}x= -J_0(x) \cos x - \int J_0'(x)\cos x~{\rm d}x $$

$$ J_0'(x)=-J_1(x) $$

$$ \int J_0(x)\sin x ~{\rm}x= -J_0(x) \cos x -(J_1(x)\sin x - \int J_1'(x)\sin x~{\rm d}x) $$

$$ \int J_0(x)\sin x~{\rm d}x=-J_0(x) \cos x - J_1(x) \sin x +\left(\int J_0(x)\sin x~{\rm d}x + \int(\sin x/ x) J_1(x)~{\rm d}x\right) $$

Pero esto no sirve para evaluarlo, ¿hay algún otro método?

Answer 1

Integramos por partes, $$ \begin{aligned} \int J_0(x)\sin(x)\,dx &=xJ_0(x)\sin(x)-\int x\bigl(-J_1(x)\sin(x)+J_0(x)\cos(x)\bigr)\,dx\\ &=xJ_0(x)\sin(x)-\int D\bigl(x J_1(x)\cos(x)\bigr)\,dx\\ &=xJ_0(x)\sin(x)-x J_1(x)\cos(x)+C. \end{aligned} $$

Aclaración

En el segundo paso, utilizamos las conocidas relaciones de recurrencia para las funciones de Bessel, $$ \begin{aligned} \frac{2}{x}J_1(x)=J_0(x)+J_2(x),\quad\text{and}\quad 2J_1'(x)=J_0(x)-J_2(x) \end{aligned} $$ para obtener (el cálculo aquí va al revés) $$ \begin{aligned} D\bigl(x J_1(x)\cos(x)\bigr) &=J_1(x)\cos(x)+xJ_1'(x)\cos(x)-xJ_1(x)\sin (x)\\ &=J_1(x)\cos(x)+x\frac{1}{2}(J_0(x)-J_2(x))\cos(x)-x J_1\sin(x)\\ &=J_1(x)\cos(x)+x\frac{1}{2}\bigl(J_0(x)-(-J_0(x)+\frac{2}{x}J_1(x))\bigr)\cos(x)-x J_1\sin(x)\\ &=x J_0(x)\cos(x)-xJ_1(x)\sin(x). \end{aligned} $$

Answer 2

Sé que he respondido a esta pregunta después de tanto tiempo. Pero el hecho principal es que tengo una solución de otra manera y por eso estoy aquí. Y creo que esta nueva manera ayudará a la gente mucho para encontrar la solución.

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\begin{equation}I=\int J_0(x) \sin(x) dx\\ =\dfrac 1{2i}\left(\int J_0(x) e^{ix}-\int J_0(x) e^{-ix}\right)dx\\ =\dfrac 1{2i}\left(\int J_0(x) e^{ix}~dx+\int J_0(-y) e^{iy}~dy\right)\\ \left[\text{Second part change the integration variable to $y=-x$}\right]\\ \\ =\dfrac 1{2i}\left(\int J_0(x) e^{ix}~dx+\int J_0(y) e^{iy}~dy\right)\\ \left[\text{By the parity of the Bessel function}\right]\\ =\dfrac 1{2i}\left\{e^{ix}x(J_0(x)iJ_1(x))+e^{iy}y(J_0(y)iJ_1(y))\right\}+c\\ \left[\text{where $~c~$ is a constant}\right]\\ =\dfrac 1{2i}\left\{e^{ix}x(J_0(x)iJ_1(x))-e^{-ix}x(J_0(-x)iJ_1(-x))\right\}+c\\ =\dfrac 1{2i}\left\{e^{ix}x(J_0(x)iJ_1(x))-e^{-ix}x(J_0(x)+iJ_1(x))\right\}+c\\ \left[\text{By the parity of the Bessel function}\right]\\ =\dfrac x{2i}\left\{J_0(x)(e^{ix}-e^{-ix})-iJ_1(x)(e^{ix}+e^{-ix})\right\}+c\\ =x[\sin x · J_0(x) \cos x · J_1(x)]+c\\ \\\end{equation}

Por lo tanto $$\boxed{\int J_0(x) \sin(x) dx=x\left\{\sin x · J_0(x) \cos x · J_1(x)\right\}+c}$$ donde $~c~$ es una constante. ..................................................................................................................................................................

• Paridad de la función de Bessel : $~J_n(-x)=(-1)^nJ_n(x)~$
• $$\int J_0(x) e^{ix}~dx=x~e^{ix}\left\{J_0(x)iJ_1(x)\right\}$$