Prueba de convergencia/divergencia de $\sum_{k=1}^\infty \frac{k^2-1}{k^3+4}$

Question

Dada la serie

$$\sum_{k=1}^\infty \frac{k^2-1}{k^3+4}.$$

Necesito comprobar la convergencia/divergencia. Puedo comparar esto con la serie $\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k}$ que diverge.

Para utilizar la prueba de comparación, ¿no tendré que demostrar que $\frac{k^2-1}{k^3+4}>\frac{k^3}{k^4}=\frac{1}{k}$ ¿para afirmar que la serie original diverge? Esto no parece sostenerse, siento que me estoy perdiendo lo obvio.

Se agradece cualquier ayuda. Gracias.

Answer 1

Sugerencia: Para $k\ge3$ , $$ \frac{k^2-1}{k^3+4}\ge\frac1{k+1} $$

Answer 2

Lorsque $k \geq 1$ tenemos $k^3+4 \leq k^3+4k^3 = 5k^3$ (Ya que $4 \leq 4k^3$ para $k \geq 1$ ). Además, cuando $k \geq 2$ tenemos $k^2-1 > \frac{k^2}{2}$ (Esto es de nuevo sencillo de verificar, la igualdad ocurre cuando $k = \sqrt{2}$ :)). Por lo tanto, $$\sum_{k=1}^\infty \frac{k^2-1}{k^3+4} = \sum_{k=2}^\infty \frac{k^2-1}{k^3+4} \geq \sum_{k=2}^\infty\frac{\frac{k^2}{2}}{5k^3} = \frac{1}{10}\sum_{k=2}^\infty\frac{1}{k}.$$ El límite inferior es la serie armónica que diverge claramente. Por lo tanto la serie original diverge.

Answer 3

Para demostrar que la serie dada es (en última instancia) mayor que la serie armónica para algún k y más allá, podríamos considerar este límite:

$$\lim_{k\rightarrow\infty}\frac{\frac{1}{k}}{\frac{k^2-1}{k^3+4}} = \lim_{k\rightarrow\infty}\frac{k^3+4}{k^3-k}= 1$$

Por lo tanto, por la definición de límite, $$\forall\varepsilon\gt0,\exists N\gt0,\text{such that} ~k \gt N,~\left|\frac{\frac{1}{k}}{\frac{k^2-1}{k^3+4}} - 1 \right| \lt \varepsilon$$ Sea $\varepsilon = 1$ para $k \gt N$ tenemos

\begin{align*} \ \left|\frac{\frac{1}{k}}{\frac{k^2-1}{k^3+4}} - 1\right| \lt 1\rightarrow 0 \lt \frac{\frac{1}{k}}{\frac{k^2-1}{k^3+4}} \lt 2 \rightarrow \frac{k^2-1}{k^3+4} \gt \frac{1}{2k}\rightarrow \sum_{k=N+1}^{\infty}\frac{k^2-1}{k^3+4} \gt \sum_{k=N+1}^{\infty}\frac{1}{2k} \space\space\space\text{(for k > N)} \end{align*} Desde la serie $\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{2k}$ es divergente, por la prueba de comparación, $ \sum_{k=1}^{\infty}\frac{k^2-1}{k^3+4}$ es divergente

Answer 4

Si en su lugar utilizamos la prueba de comparación de límites, y la comparamos con la serie armónica, encontraremos para el límite L=1 ( $k^3/k^3$ ), puesto que la serie armónica diverge, también lo hace su serie dada