¿Qué relación hay entre la definición de un tensor que da un matemático y la que da un físico?

Question

Estudio matemáticas, pero también me interesa mucho la física. He seguido un curso sobre variedades suaves en el que un tensor se define como una función alternante multilineal. Recientemente he aprendido sobre electrodinámica y cómo las ecuaciones de Maxwell pueden escribirse en forma relativista. Introducimos el "(anti-simétrico) 2-tensor" $F_{\mu\nu}$ que, por lo que he entendido hasta ahora, tiene la ventaja de que nos permite calcular fácilmente cómo se transforman los campos bajo transformaciones arbitrarias de Lorentz. (Como pregunta al margen, ¿existe realmente alguna otra ventaja)? He entendido como $F_{\mu\nu}$ se deriva, pero me he quedado atascado en por qué / cómo los físicos llaman a este objeto un tensor.

¿Cómo puede un objeto como $F_{\mu\nu}$ como una función bilineal?

Answer 1

donde un tensor se define como una función alternante multilineal

Creo que puedes estar confundiendo el concepto general de tensores, con el caso específico de _formas de volumen_ que por definición son siempre alternando . Pero si se suprime el "alternando", esto sería completamente correcto.

Ahora bien, quizá la confusión se deba a que en física podemos ser un poco "chapuceros" a veces y representar algo como el tensor de Lorentz electromagnético como una matriz:

\begin{equation} \left\{ F^{\mu \nu} \right\} = \begin{pmatrix} 0 & -E^1 & -E^2 & -E^3 \\ E^1 & 0 & -B^3 & B^2 \\ E^2 & B^3 & 0 & -B^1 \\ E^3 & -B^2 & B^1 & 0 \end{pmatrix} \end{equation}

Aunque en realidad esta no es una buena forma de representar una función bilineal. Sabemos que una matriz es una representación razonable para una $(1,1)$ ya que mapea un vector (que es un $(1,0)$ tensor) a otro vector. Supongamos que $A$ es un $(1,1)$ tensor, entonces:

$$A^{i}_jV^j = U^i$$

Sin embargo, una matriz no es una muy buena forma de representar una función bilineal como $F^{\mu\nu}$ . Una función bilineal o bien asigna un covector a un vector, un vector a un covector, o un par (dos vectores o dos covectores) a un escalar:

$$F^{\mu\nu}V_{\mu}U_{\nu} = r$$

donde, por ejemplo, podemos suponer $r\in\mathbb{R}$ . Pido disculpas por la no-física del ejemplo, esto es sólo para fines ilustrativos :)

(Encontrará más información al respecto en notación de índice si te interesa y cómo se relaciona con la notación más directa de una función multilineal. Baste decir que se trata de una notación más económica para operaciones conocidas del álgebra (multi)lineal.)

Pero aparte de algunas diferencias en la notación, los tensores en física son exactamente los mismos objetos que en matemáticas: mapas multilineales . Tal vez lo más importante: en física esos mapas multilineales dependen a menudo de parámetros físicamente significativos, tales como posición en el espaciotiempo . Un buen ejemplo de ello sería el tensor métrico en la relatividad. Así, mientras que en un punto de la variedad espaciotemporal, el tensor métrico actuará efectivamente como un mapa multilineal, todavía lo identificaríamos como lo mismo en otro punto de la variedad, a pesar de esta dependencia. Esto está relacionado con el hecho de que el tensor métrico se define correctamente como un campo tensorial en la multiplicidad, mediante la noción relacionada de la haz de fibras que quizá conozca.

Answer 2

Los matemáticos tienden a favorecer la definición intrínseca de un tensor, que define el tensor como una función multilineal o un miembro de la clase producto tensorial de dos o más espacios vectoriales.

Los físicos se inclinan por la definición extrínseca de tensor, según la cual un tensor es un conjunto de componentes que se transforman de una manera determinada al cambiar el sistema de coordenadas o el sistema de referencia. Se trata de una definición más concreta, mientras que la de los matemáticos es más abstracta.

Dicho esto, la definición del matemático y la del físico son equivalentes y conducen al mismo tipo de objeto con las mismas propiedades.