Cuántos números épsilon $<\omega_1$ ¿están ahí?

Question

Un número épsilon es un ordinal $\epsilon$ tal que $\epsilon=\omega^\epsilon.$ ¿Cuál es la cardinalidad del conjunto de todos los números épsilon menores que $\omega_1$ ?

Lo pregunto por una prueba que acabo de leer y que parece presuponer que hay un número contable de tales ordinales, y me parece intuitivamente que debería haber un número incontable (aunque no sé cómo demostrarlo).

Añadido. Vale, acabo de entender que la prueba que he mencionado está bien aunque haya incontables ordinales de este tipo, pero sigo sin ver cómo puedo encontrar su número.

Answer 1

Tenga en cuenta que $\varepsilon_0$ es contable. Por lo tanto, si sólo hay un número contable de $\varepsilon$ números, tendrían un supremacía contable, $\alpha$ . Consideremos ahora la misma construcción que $\varepsilon_0$ , comenzando $\alpha+1$ . Es decir: $$\sup\{\omega^{\alpha+1},\omega^{\omega^{\alpha+1}},\ldots\}$$

El resultado es en sí mismo un $\varepsilon$ y es contable (como límite contable de los ordinales contables). Pero todos los contables $\varepsilon$ se suponía que las cifras eran inferiores a $\alpha$ , lo cual es una contradicción.

Answer 2

Su intuición es correcta: $\omega_1=\epsilon_{\omega_1}$ . Véase el debate en Wikipedia Las construcciones de $\epsilon_{\alpha+1}$ de $\epsilon_\alpha$ y de $\epsilon_\alpha$ para un ordinal límite contable $\alpha$ preservar la contabilidad, por lo que debe haber $\omega_1$ contable $\epsilon$ -Números.

Answer 3

Otra respuesta que utiliza la elección:

Desde $\varepsilon_\alpha$ es contable si $\alpha$ es contable por esta otra pregunta de SE o por los argumentos de las otras respuestas (y obviamente $\varepsilon_\alpha\ge\alpha$ ), el mapa $f:\beta\to\omega_1$ definido por $f(\alpha)=\varepsilon_\alpha$ (donde $\beta$ es el número de cuentas $\varepsilon$ números) es un mapa cofinal. Pero por el axioma de elección, $\omega_1$ es regular. Por lo tanto, hay $\beta=\omega_1$ contable $\varepsilon$ números.