Encontrar el valor de $x^{5} + y^{5} + z^{5}$ dados los valores de $x + y + z$ , $x^{2} + y^{2} + z^{2}$ y $x^{3} + y^{3} + z^{3}$

Question

Si $$x+y+z=1$$ $$x^2+y^2+z^2=2$$ $$x^3+y^3+z^3=3$$ A continuación, halle el valor de $$x^5+y^5+z^5$$

¿Hay alguna forma sencilla de resolver este problema? He intentado todos mis trucos trató de multiplicar dos ecuaciones , sustituir $z=1-x-y$ , pero las cosas se complicaron nada parece funcionar .

Answer 1

Esta forma de ecuaciones puede resolverse sistemáticamente utilizando Las identidades de Newton .

El problema que nos ocupa es un caso especial de $3$ variables. Sea $e_1,e_2,e_3$ sea el polinomio simétrico de tres elementos asociado a $x,y,z$ : $$\begin{align} e_1 &= x + y + z\\ e_2 &= xy+ yz + zx\\ e_3 &= xyz \end{align}$$ Esto equivale a $\displaystyle\;(\lambda - x)(\lambda -y)(\lambda -z) = \lambda^3 - e_1\lambda^2 + e_2\lambda - e_3$ .

Para cualquier número entero $k > 0$ , dejemos que $p_k = x^k + y^k + z^k$ . Para 3 variables, las identidades de Newton son:

$$\begin{align} p_1 &= e_1\\ p_2 &= e_1 p_1 - 2 e_2\\ p_3 &= e_1 p_2 - e_2 p_1 + 3e_3\\ p_n &= e_1 p_{n-1} - e_2 p_{n-2} + e_3 p_{n-3} \quad\text{ for }\; n > 3 \end{align}$$

Dados los valores conocidos de $(p_1,p_2,p_3) = (1,2,3)$ tenemos

$$\begin{align} e_1 &= p_1 = 1;\\ e_2 &= -\frac12(p_2 - e_1p_1) = -\frac12\left(2 - 1^2\right) = -\frac12\\ e_3 &= \frac13(p_3 - e_1p_2 + e_2p_1) = \frac13\left(3 - 2 - \frac12\right) = \frac16 \end{align}$$

Sustitúyalo en la fórmula de $p_4$ y $p_5$ tenemos

$$\begin{align} p_4 &= e_1 p_3 - e_2 p_2 + e_3 p_1 = 3 + \frac12\cdot 2 + \frac16\cdot 1 = \frac{25}{6}\\ p_5 &= e_1 p_4 - e_2 p_3 + e_3 p_2 = \frac{25}{6} + \frac12\cdot 3 + \frac16\cdot 2 = 6 \end{align}$$

La respuesta es $x^5 + y^5 + z^5 = 6$ .

Answer 2

CONSEJO

Multiplicando la tercera relación por la segunda se obtiene \begin{align*} (x^{2} + y^{2} + z^{2})(x^{3} + y^{3} + z^{3}) & = x^{5} + y^{5} + z^{5} + x^{2}(y^{3} + z^{3}) + y^{2}(x^{3} + z^{3}) + z^{2}(x^{3} + y^{3}) \end{align*}

Ahora podemos reordenar la última expresión como \begin{align*} x^{2}y^{2}(x + y) + x^{2}z^{2}(x + z) + y^{2}z^{2}(y + z) & = x^{2}y^{2} + x^{2}z^{2} + y^{2}z^{2} - x^{2}y^{2}z - x^{2}yz^{2} - xy^{2}z^{2}\\\\ & = x^{2}y^{2} + x^{2}z^{2} + y^{2}z^{2} - xyz(xy + xz + yz) \end{align*}

De ahí que el problema se haya reducido a estudiar la última relación.

Antes de continuar, observe que \begin{align*} x^{2}y^{2} + x^{2}z^{2} + y^{2}z^{2} & = (xy + xz + yz)^{2} - 2xyz(x + y + z)\\\\ & = (xy + xz + yz)^{2} -2xyz \end{align*}

Para hallar la expresión restante, observemos que \begin{align*} (x + y + z)^{2} = x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2(xy + xz + yz) \Rightarrow xy + xz + yz = -\frac{1}{2} \end{align*}

Por último, tenemos que encontrar el valor de $xyz$ .

¿Puedes seguir desde aquí?

Answer 3

He aquí otra forma, por si le interesa: $$(x+y+z)^2=1\implies\sum x^2+2\sum xy=1\implies \sum xy=-\frac12$$ Por lo tanto, la ecuación polinómica cuyas raíces son $x,y,z$ toma la forma: $$t^3-t^2-\frac12t+c=0$$ Sumando esta ecuación para cada una de las raíces, $$\sum x^3-\sum x^2-\frac12\sum x +3c=0$$ $$\implies3-2-\frac12(1)+3c=0\implies c =-\frac16$$ Multiplicando el polinomio por $t$ y sumando de nuevo, $$\sum x^4-\sum x^3-\frac12\sum x^2-\frac16\sum x=0$$ $$\implies\sum x^4=3+\frac12(2)+\frac16(1)$$ $$\implies \sum x^4=\frac{25}{6}$$ Multiplicando el polinomio por $t^2$ y sumando de nuevo, $$\sum x^5-\sum x^4-\frac12\sum x^3-\frac16\sum x^2=0$$ $$\implies\sum x^5=\frac{25}{6}+\frac12(3)+\frac16(2)=6$$

Answer 4

De otra manera.

Sea $x+y+z=3u$ , $xy+xz+yz=3v^2$ donde $v^2$ puede ser negativo, y $xyz=w^3$ .

Así, $u=\frac{1}{3}$ y puesto que $$2=x^2+y^2+z^2=9u^2-6v^2,$$ obtenemos $$v^2=-\frac{1}{6}.$$ Además, puesto que $$3=x^3+y^3+z^3=27u^3-27uv^2+3w^3=1+\frac{3}{2}+3w^3,$$ obtenemos $$w^3=\frac{1}{6}.$$ Id est, $$x^5+y^5+z^5=243u^5-405u^3v^2+135uv^4+45u^2w^3-15v^2w^3=6.$$ Utilicé las siguientes identidades, que son fáciles de demostrar y que siempre utilizamos en la $uvw$ método.

Acerca de $uvw$ ver aquí https://artofproblemsolving.com/community/c6h278791

$$x^2+y^2+z^2=9u^2-6v^2,$$ $$x^3+y^3+z^3=27u^3-27uv^2+3w^3$$ y $$x^5+y^5+z^5=243u^5-405u^3v^2+135uv^4+45u^2w^3-15v^2w^3.$$ También los hay: $$\sum_{cyc}(x^2y+x^2z)=9uv^2-3w^3,$$ $$\sum_{cyc}x^2y^2=9v^4-6uw^3$$ y más