Supongamos la secuencia $\{a_n\}$ converge a $a$ y que $|a| < 1$ . Demostrar que $\{a_n^n\}$ converge a $0$ .

Question

Empecé diciendo que desde $|a| < 1$ entonces $-1 < a < 1$ y puesto que $\{a_n\}$ converge a $a$ entonces $|a_n - a| < e$ para $e > 0$ . ¿Podemos decir entonces que $a$ está contenido en el intervalo $(-1, 1)$ entonces $\{a_n\}$ está contenido en el mismo intervalo? ¿O es sólo para intervalos cerrados?

Answer 1

Pista: basta con observar que existe un $r \in (0,1)$ tal que $$ |a_{n}|^n \leq r^n $$ (cuando $n$ es "suficientemente grande").