Utilización de la prueba de la proporción en el análisis real

Question

Intento demostrar que la siguiente serie diverge cuando $1\le |x|$

$$\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^nx^{2n}$$

Así que aplicando la prueba de la proporción obtuve eso,

$$\lim_{n\to\infty}|\frac{x^{2n+2}}{x^{2n}}|$$ $$\lim_{n\to\infty}|x^2|=x^2$$

Entonces, ¿cómo puedo demostrar que converge sólo en $(-1,1)?$

Answer 1

La prueba de la relación dice que si $$\lim_{n\to\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=L$$ Entonces

Si $L<1$ la serie converge absolutamente

Si $L=1$ la serie puede converger o divergir

Si $L>1$ la serie diverge.

Ahora usando lo que tienes, ¿cuándo es $L<1$ y si $L=1$ ¿converge la serie?

Answer 2

Es necesario aplicar la condición de convergencia. Para garantizar la convergencia, ese límite debe ser menor que 1. Así que tienes $x^2 < 1$ . A partir de ahí.

Answer 3

Utilizando la prueba de la proporción obtendrá $$\lim_\limits{n\to\infty}\bigg{|}\frac{(-1)^{n+1}x^{2(n+1)}}{(-1)^nx^{2n}}\bigg{|}$$ que se simplifica en $$\lim_\limits{n\to\infty}|(-1)x^{2}|=\lim_\limits{n\to\infty}|x^{2}|=L$$

Sabemos que $x$ está en el dominio $(-1,1)$ por lo que podemos decir lo siguiente: $$x\in(-1,1)\Rightarrow|x|<1\Rightarrow|x^2|<<1$$

Usando lo que @kingW3 mencionó para el valor de L: $$\lim_\limits{n\to\infty}|x^{2}|=L<<1$$

Por tanto, la suma original converge absolutamente en el dominio $(-1,1)$ .

Answer 4

Creo que es mucho más sencillo:

$$|x|\ge1\implies x^{2n}\ge1\implies (-1)^nx^{2n}\rlap{\;\;\;\;/}\xrightarrow[n\to\infty]{}0\implies \sum_{n=0}^\infty(-1)^nx^{2n}$$

no pueden converger.