En términos sencillos: ¿es el cuanto de acción elemental de Planck h-bar, o es cero? O también: ¿los fotones son elementales o divisibles?
Tú mismo puedes decidir qué respuesta te gusta más comparando los argumentos de esta respuesta y los de la otra. La otra respuesta es errónea porque la contradicen miles de experimentos cada día, y porque contradice la relación de incertidumbre. Esta discusión es un bonito estudio sobre el poder de los prejuicios entre los físicos. Pida a sus colegas y profesores que voten. Veamos cómo evolucionan estas estadísticas con el tiempo. El 22 de diciembre de 2020, la otra respuesta errónea tiene +10 votos, y ésta, la correcta, -5 votos. El 7 de febrero de 2021: la incorrecta +12, la correcta -3.
Para aumentar el número de votos negativos de esta respuesta, he aquí una afirmación aún más descabellada, a primera vista:
*Action is quantized in multiples of h-bar.*
Además, esta afirmación casi nunca se hace en conferencias o libros, por lo que suena poco familiar o incluso errónea. Sin embargo, es correcta. La bibliografía se encuentra al final. Por favor, añada un voto negativo a esta respuesta si no cree en la afirmación. Pero permítanme volver a la pregunta original.
Las líneas citadas en la pregunta son de la página web de mi libro de física gratuito www.motionmountain.net pero no descubrí esta pregunta hasta diciembre de 2020, varios años después de que se planteara y publicara. Aquí hay al menos dos preguntas.
En primer lugar, ¿es la acción un observable? La respuesta es sí, por supuesto, aunque no sea un observable que se utilice habitualmente. El operador aparece en muchos libros de texto. El operador es autoadjunto y lineal. Se puede medir e incluso tiene un análogo clásico. Por lo tanto, la acción es un observable físico. De hecho, el operador no es local en el tiempo, pero ésa es la esencia de la acción: es una integral en el tiempo. (También el "cambio de energía", por ejemplo, no es local en el tiempo, y aun así es un observable).
La acción es la integral de la energía cinética menos la energía potencial a lo largo del tiempo. Se trata de una magnitud medible en experimentos. La acción es la magnitud más fundamental de la física. Por ejemplo, el libro de texto de física Landau-Lifshitz, de 10 volúmenes, comienza con la acción en la primera página.
Otro argumento: El principio de mínima acción implica que la acción puede medirse. De lo contrario, no podríamos comprobar si la acción se minimiza realmente. Otro argumento: también el principio de acción cuántica de Schwinger implica que la acción W es un observable. Su principio utiliza expresiones como <psi_1|W|psi_2>, siendo W el operador de acción. No hay duda de que la acción es un observable y medible. Un argumento adicional: también hay un observable canónicamente conjugado a la acción: el ángulo.
La mejor manera de imaginar la acción como un observable es pensar en una película de acción. Un valor de acción grande corresponde a películas con "mucha acción". Es una buena aproximación: si muchas cosas, personas, coches, aviones se mueven, y lo hacen rápidamente, si explotan, arden, etc., entonces el valor de acción (integral en el tiempo de la energía cinética menos la potencial) es grande.
La acción es invariante del observador: la acción es un escalar. Estas propiedades sólo se aplican a los observables. Por favor, añada un voto negativo a esta respuesta si cree que la acción no es un observable.
La segunda pregunta: ¿está limitada la acción desde abajo? Obviamente, la declaración se refiere a un solo medida. El límite inferior es la razón de la expresión "cuanto de acción". Sólo menciono que la afirmación de que la acción está limitada por abajo la han hecho Planck, Bohr, Dirac, Sommerfeld, Sackur, Maslov y muchos otros, como se enumera en las referencias dadas más abajo. Bohr dedicó bastante tiempo a explicar que $\hbar$ es la acción observable más pequeña de la naturaleza.
El contraejemplo al desafío propuesto por Arnold Neumaier es erróneo, a pesar de los muchos votos (y a pesar de ser un físico muy bueno y muy profesional): cuando la diferencia de tiempo delta t se hace muy pequeña, el valor de acción medido de una partícula en movimiento no no ir a cero.
Aquí está el error en el argumento de Arnold: Para determinar la acción de una partícula libre (el ejemplo más sencillo), hay que medir su energía en dos momentos distintos. Aunque, clásicamente, la acción W viene dada por la energía E multiplicada por delta t, en la naturaleza y en la teoría cuántica el valor de la acción W sigue siendo finito cuando delta t se hace muy pequeño, debido a la relación de incertidumbre: la diferencia de energía aumenta cuando delta t se hace más pequeño. (Medir la energía requiere tiempo, ese tiempo debe ser más corto que delta t.) Así es la teoría cuántica. Para delta t pequeño, h-bar actúa: la relación de incertidumbre -de energía y tiempo en el caso dado- impide que la acción medida llegue a cero cuando delta t llega a cero.
He aquí otros dos ejemplos experimentales que muestran cómo falla el desafío. En primer lugar, la detección de un giro 1/2 flip requiere una acción $\hbar$ . No hay forma de detectar un giro con una pequeña cantidad de acción. En la naturaleza, no hay manera de detectar 1/10 de un giro.
Segundo. Cada detección de fotones requiere una acción $\hbar$ . En la naturaleza, simplemente no hay forma de detectar un 1/2 o un 1/100 de un fotón. Pregunte a cualquiera que haga experimentos de óptica cuántica. No hay forma de detectar algo más pequeño que un fotón. Este es el origen de la palabra "fotón". Esta es la razón por la que Planck lo llamó "cuanto de acción elemental", para contrastarlo con un cuanto de acción "divisible". Los fotones no se pueden dividir. Son elementales.
Einstein nunca utilizó la palabra fotón, prefería el término "cuanto de luz". No existe ningún medio fotón. El efecto más pequeño de un campo electromagnético es hbar. No se puede hacer que un campo electromagnético tenga un efecto más pequeño. Este es el resultado radical que nos dice la naturaleza. El campo electromagnético no puede dividirse a voluntad en cantidades realmente diminutas. Existe un trozo mínimo, un "átomo" de luz. Y este trozo mínimo se describe mediante la barra h.
Si cree que las acciones más pequeñas que $\hbar$ puede medirse, hágalo. Hasta ahora, nadie en el planeta ha tenido éxito.
Mucha gente ha intentado hacer experimentos que miden acciones más pequeñas que la barra h. La famosa discusión entre Einstein y Bohr puede verse como un intento continuo de Einstein de medir acciones inferiores a h-bar. Pero la naturaleza no lo permite. Incluso Einstein, que al principio se mantuvo firme en que esto era posible, cambió más tarde de opinión, y explicó con ello el efecto fotoeléctrico.
Cuando Planck descubrió que la radiación del cuerpo negro requería la cuantización de la acción del campo electromagnético, no sabía que los fotones tenían momento angular. Simplemente descubrió que la acción estaba cuantizada, y llamó a la cantidad correspondiente "cuanto elemental de acción". Descubrió que sin la cuantización de la acción no podía explicar el espectro de la radiación del cuerpo negro. (No dijo ni dedujo del experimento que el momento angular estuviera cuantizado. Dijo y dedujo del experimento que la acción estaba cuantizada). Ese fue el nacimiento de la teoría cuántica.
También los efectos fotoeléctricos demuestran que la acción está cuantizada. Puedes encontrar la descripción en cualquier libro de física. Si la acción no estuviera cuantizada en trozos mínimos, el efecto no existiría.
Por favor, añada un voto negativo a esta respuesta si cree que la acción no está limitada desde abajo.
Se puede decir lo siguiente: para falsificar la afirmación de que "la acción está acotada desde abajo en un único experimento" basta con realizar un único experimento -real o mental- que arroje un valor tan pequeño como se desee, digamos $\hbar/10$ o menor. En otras palabras, basta con encontrar un único contraejemplo del límite inferior de la acción o, dicho de otro modo, del cuanto de acción. Es un reto sencillo. Disfrútalo.
Si consigues el reto, o si alguien más lo consigue, házmelo saber. Me comeré públicamente una de mis camisetas -que llevan impresa la afirmación contraria, como puede verse en el página con la imagen de la camiseta - en ese caso. Pero tendrás otra ventaja, mucho mayor: ganarás un viaje a Estocolmo y recibirás una gran cantidad de dinero.
Sin embargo, la probabilidad de tener éxito es tan baja como la probabilidad de que usted o cualquier otra persona consiga mover masas o energía más rápido que la velocidad de la luz. Tanto c como h-bar son invariantes límites en la naturaleza. Por eso las unidades del SI se basan en ellas.
En resumen, la cita que inició la discusión sigue siendo correcta, a pesar de la autoridad y los votos que respaldan la respuesta errónea. (Quiero ser claro: Arnold Neumaier casi siempre puede es un físico serio y profesional). Pero siempre tenemos que tener cuidado cuando hacemos física. A veces nos equivocamos, a pesar de nuestras mejores intenciones.
Conclusión: Todo el hilo es extraño. En 1899 nació la teoría cuántica con el descubrimiento de Planck de que la acción está cuantizada. Entre 2017 y diciembre de 2020, esta observación fundamental sobre la naturaleza se pone en duda en la física stackexchange. No sólo se cuestiona la cuantización, sino también el hecho de que la acción sea observable. No sólo se pone en duda el hecho de que la acción sea observable, sino que además se niega. Peor aún, otros lectores incluso están de acuerdo. Se trata de una cadena de errores y prejuicios muy desafortunada. Las propiedades de la acción implican la conservación del momento y de la energía, entre otras. Si la acción no fuera observable, la energía y el momento tampoco lo serían. Por decirlo drásticamente: si la acción no fuera observable, entonces nada en la naturaleza lo sería.
Sobre todo: si la acción no estuviera cuantizada en múltiplos de hbar, los fotones no existirían. Los átomos no serían estables - y no existirían, porque los electrones caerían en el núcleo. Los libros de física están llenos de muchos otros ejemplos que cuentan lo que pasaría si hbar no fuera la acción mínima.
Mucha gente, yo incluido, ha contado fotones, átomos y electrones. Esto se hace todos los días en todo el mundo. Los fotones se pueden contar con precisión porque hbar es la acción mínima que se puede medir en cualquier experimento. Un físico honesto nunca afirmará que los fotones se pueden dividir, o que los fotones no existen, o que los átomos no existen: eso sería mentira. hbar es la acción mínima en la naturaleza.
Literatura moderna sobre el tema:
Levy-Leblond, Quantiques - una excelente introducción a la mecánica cuántica, por cierto.
J. Schwinger: su libro sobre teoría cuántica explora en detalle el operador de acción.
Lorenzo J Curtis, Una perspectiva del siglo XXI como introducción a la física introductoria, European Journal of Physics 32 (2011) 1259-1274. Este artículo expone -de forma independiente- el mismo argumento que la cita del post de la pregunta, en la sección 5.2.
Lorenzo J. Curtis y David G. Ellis, Use of the Einstein-Brillouin-Keller action quantization, American Journal of Physics 72 (2004) 1521.
V. Hushwater, Quantum Mechanics from the Quantization of the Action Variable, Fortschr. Phys. 46 (1998) 6-8, 863-871.
M. N. Sergeenko, Cuantización de la acción clásica y problema de valores propios.
S Boughn, ¿Para qué la mecánica cuántica?
Autores más antiguos sobre el tema:
El libro de Maslov de 1972 (en traducción francesa) y sus trabajos sobre el índice de Maslov, que añade los últimos detalles a la cuantización EBK.
Einstein, Brillouin, Keller - con sus tres artículos que definen la cuantización EBK, que explícitamente comienza con la cuantización de la acción.
Bronshtein, en su artículo sobre el cubo de la física.
Sackur, The universal significance of the so-called elementary quantum of action, Annalen der Physik, 345 (1913) 67-86. Escribe en la primera página:
"Llegué a este resultado mediante la hipótesis de Sommerfeld de que todo efecto ejercido en la naturaleza es un múltiplo integral del cuanto elemental de acción h".
Sommerfeld, Das Plancksche Wirkungsquantum und seine allgemeine Bedeutung für die Molekülphysik, Physikalische Zeitschr. 12 (1911) 1057-1069.
Bohr, 1911 y 1913.
Planck 1899.
Comentarios sobre la otra respuesta, frase por frase.
El libro propaga un mito. MM: mal, ver literatura.
Los experimentos miden el momento angular, no la acción, aunque tengan las mismas unidades. MM: incorrecto; los típicos contadores de fotones no miden el momento angular, como tampoco lo hace el efecto fotoeléctrico, ni la mayoría de los demás experimentos. De hecho, el hbar se descubrió antes de que se utilizara o conociera el espín mecánico cuántico.
Se encuentra que el momento angular en cualquier dirección particular (longitud unitaria) aparece en múltiplos de ℏ/2, debido a que sus componentes generan el grupo de Lie compacto SO(3) o su doble cubierta U(2). MM: correcto, pero no forma parte del tema.
Que la constante de Planck ℏ se denomine ''cuanto de acción'' se debe únicamente a razones históricas. No implica que la acción esté cuantizada ni que su valor mínimo sea ℏ. MM: Error, lo es, como demostró Planck analizando la radiación del cuerpo negro.
De hecho, la acción de un sistema definido por un Lagrangiano es un observable bien definido sólo en el sentido muy general y abstracto de la mecánica cuántica, donde todo operador autoadjunto en un espacio de Hilbert se denomina observable, independientemente de que tengamos o no una forma de medirlo. MM: cierto; pero la acción puede medirse: Integrar la energía en el tiempo (para una partícula libre).
La acción de un sistema a lo largo de una trayectoria fija permitida dinámicamente depende de un tiempo inicial y final supuestos, MM: correcto.
y va a cero a medida que estos tiempos se aproximan. MM: incorrecto, como se muestra arriba. Esta afirmación contradice la relación de incertidumbre de Heisenberg.
Esto es válido incluso cuando se trata de un operador. MM: incorrecto: el operador de acción tiene un espectro discreto. Véase la bibliografía citada.
Por lo tanto, sus valores propios son continuos en el tiempo y deben ir a cero cuando el intervalo de tiempo tiende a cero. MM: Incorrecto, ya que esto contradice la relación de incertidumbre.
Esto es incompatible con un espectro formado por múltiplos integrales o semi-integrales de ℏ. MM: Incorrecto. Véase la bibliografía citada.
