base que falta y encontrar las coordenadas del vector con respecto a la base

Question

Vectores $w_1, w_2, w_3$ forman una base ortogonal para $R^3$ . Dado que $w_1 = \begin{pmatrix} 2\\3\\5 \end{pmatrix}$ ¿cuáles son las coordenadas del vector $v=\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}$ con respecto a la base?

No estoy seguro de cómo empezar este problema. Creo que debería encontrar $w_2$ y $w_3$ primero, y sé que $w_1 \cdot w_2 = 0$ , $w_2 \cdot w_3 = 0$ y $w_3 \cdot w_1 = 0$ , pero no estoy muy seguro de cómo eso me ayuda exactamente, dado que hay 6 variables desconocidas (entradas) de la base. Cualquier ayuda sería muy apreciada.

Answer 1

Pista: ¿Se te ocurre algún vector distinto de cero que sea ortogonal a $(2,3,5)$ ? Que sea $w_2$ .

Entonces toma $w_3=w_1\times w_2$ .

Answer 2

Como se ha dicho, el problema no tiene solución. Supongamos que $v=\alpha_1w_1+\alpha_2w_2+\alpha_3w_3$ . Entonces los coeficientes $\alpha_2$ y $\alpha_3$ no puede ser a la vez diferente de $0$ (ya que $v$ no es múltiplo de $w_1$ ). Si $\alpha_2\ne0$ entonces $$v=\alpha_1w_1+\alpha_2w_2+\alpha_3w_3=\alpha_1w_1-\alpha_2(-w_2)+\alpha_3w_3$$ y $\{w_1,w_2,w_3\}$ sigue siendo una base ortogonal, pero ahora tiene coeficientes diferentes. Y lo mismo ocurre si $\alpha_3\ne0$ .

Answer 3

Para $w_2$ tienes que $$ \eqalign{ & w_{\,2} = \left( {\matrix{ a \cr b \cr c \cr } } \right)\;\; :\quad 2a + 3b + 5c = 0\quad \Rightarrow \cr & \Rightarrow \quad w_{\,2} = \left( {\matrix{ a \cr b \cr { - \left( {2a + 3b} \right)/5} \cr } } \right) \cr} $$ lo que significa que te quedan dos grados de libertad como debe ser.

Entonces para $w_3$ puede tomar $$ w_{\,3} = \lambda \,w_{\,1} \times w_{\,2} $$ donde puede limitar $c$ ser positivo si necesita mantener la quiralidad según la regla de la "mano derecha".
Tienes en total dos grados de libertad y un parámetro ascale.

Después puedes expresar $v$ en dicha base, dejando libres los parámetros.