Expectativa del producto de funciones indicadoras

Question

Me han hecho esta pregunta y de alguna manera no puedo relacionar la expectativa con la probabilidad dada. Si $A,B$ son acontecimientos y $1_A$ , $1_B$ son las variables indicadoras de estos eventos, entonces ¿cómo demuestro que $$ E\big(1_{A}\times 1_{B}\big) = Pr\big(A\cap B\big). $$

Answer 1

Puede que te ayude utilizar la definición de funciones indicadoras así como la de expectativa. La función indicadora define una variable aleatoria Bernoulli. Recuerda que \begin{align*} 1_{A} = \begin{cases} & 1 & \text{ if $x\in A$}\\ & 0 & \text{ if $x\notin A$}, \end{cases} \end{align*} y tenemos para la expectativa \begin{align*} E\big(1_{A}\big) &= \sum xPr(x) = 0\times Pr(x\notin A)+1\times Pr(x\in A)\\ &= Pr(x\in A). \end{align*} Del mismo modo, \begin{align*} 1_{B} = \begin{cases} & 1 & \text{ if $y\in B$}\\ & 0 & \text{ if $y\notin B$}, \end{cases} \end{align*} y $E(1_{B}) = Pr(y\in B)$ .

Si nos fijamos en el evento $1_{A}\times 1_{B}$ obtenemos \begin{align*} 1_{A}\times 1_{B} = \begin{cases} & 1 & \text{ if $x\in A$ and $y\in B$ }\\ & 0 & \text{ if $x\notin A$ or $y\notin B$}. \end{cases} \end{align*} Lo anterior en sí mismo define una variable Bernoulli, por lo que la expectativa se convierte en: \begin{align*} E\big(1_A\times 1_B\big) &= \underbrace{0\times Pr(x\notin A \text{ or } y\notin B)}_{=0} +1\times Pr(x\in A \text{ and } y\in B) \\ &= Pr(x\in A \text{ and } y\in B) = Pr(A\cap B). \end{align*}

Answer 2

$$\mathbb 1_A\cdot\mathbb 1_B=\mathbb 1_{A\cap B}\qquad\&\qquad E(\mathbb 1_C)=P(C)$$