Los modelos de monstruos del tamaño de una clase adecuada suelen formularse en una teoría de clases como $NBG$ y pueden formalizarse razonablemente en $ZFC$ con algún tipo de elección global, pero para algunas teorías no se necesitan ni las clases como objeto de primer orden ni la elección global para exhibir modelos de monstruos del tamaño de una clase adecuada.
Para una teoría completa de primer orden $T$ un modelo de clase, $\mathfrak{C}$ es una clase $C$ (como en la clase de conjuntos que satisfacen alguna fórmula quizás con parámetros) con relaciones y funciones también dadas por fórmulas quizás con parámetros, tales que $\mathfrak{C}$ modelos $T$ de la manera obvia (aunque hay una sutileza aquí con $ZFC$ demostrando que $\mathfrak{C}$ modelos $T$ uniformemente frente a individualmente demostrando que modela cada conjunto finito de oraciones en $T$ ). Un modelo de monstruo de clase adecuado es un modelo de clase $\mathfrak{C}$ tal que $C$ es una clase propia y que está 'saturada de clases propias', es decir, para cada sub configure $A\subset C$ , $\mathfrak{C}$ realiza cada tipo en $S_1(A)$ (No voy a preocuparme ahora por la homogeneidad).
Para teorías incontablemente categóricas y otras teorías extremadamente agradables existen claramente modelos monstruosos de clase propia. Para una teoría incontablemente categórica podemos tomar un modelo de Ehrenfeucht-Mostowski con $Ord$ para su columna vertebral (que, cabe señalar, al menos nos da la existencia de un modelo de clase adecuado para cualquier teoría, que no es a priori obvio). Deberías poder hacer algo parecido con $\omega$ -estable $\omega$ -a la luz del teorema de coordinación (hay una colección finita de conjuntos categóricos fuertemente mínimos sobre los que los modelos de esta teoría son primos). Estoy bastante seguro de que si se toma un modelo de tamaño de clase de una teoría unidimensional y se toma una ultrapotencia apropiada de la misma (que está bien definida para conjuntos índice de tamaño de conjunto, utilizando el conjunto índice y el ultrafiltro como parámetros), la ultrapotencia estará saturada de clase apropiada.
Es plausible que se pueda hacer lo mismo con las teorías estables en general (o al menos con teorías estables suficientemente agradables), aunque no he intentado pensar en los detalles. Por otro lado, hay un par de ejemplos divertidos de teorías inestables con modelos monstruosos de clase propia sencillos de describir. Los números surrealistas son un modelo monstruoso de clase propia de $RCF$ (y por lo tanto $DLO$ en la reducción) y si definimos una relación de borde en la clase de todos los conjuntos por $xEy$ si $x\in y$ o $y\in x$ entonces obtenemos un modelo monstruo de clase propio de la teoría del grafo aleatorio.
¿Existe un método general para exponer modelos de monstruos de clase adecuados en $ZFC$ sin elección global? Si no es así, ¿existen buenas familias de teorías para las que podamos exhibir modelos monstruosos de clase adecuada? ¿Existe un modelo $V$ de $ZFC$ y una teoría $T$ que no tiene un modelo de monstruo de clase adecuado en $V$ ?
EDIT: Se han solicitado detalles sobre el modelo EM con $Ord$ para la construcción de una columna vertebral. Puede que haya alguna sutileza de la que no me haya dado cuenta respecto a que el modelo satisfaga la teoría, pero estoy bastante seguro de que se puede construir literalmente la clase. La construcción no es completamente uniforme ya que necesita el functor EM o al menos una buena ordenación del lenguaje como parámetro al final.
Primero ejecute la construcción típica de funtores EM: Dada una teoría consistente $T$ con modelos infinitos, encontrar una Skolemización completa $T^{sk}$ y luego encontrar un tipo EM de una secuencia indiscernible no constante en $T^{sk}$ .
Para construir un modelo EM, suponiendo que hemos Skolemizado la teoría a la manera "tonta", basta con considerar términos de la forma $f(\overline{a})$ donde $f$ es una función Skolem y $\overline{a}$ es una tupla estrictamente decreciente de indiscernibles, porque cualquier término Skolem más complicado y términos con permutaciones de variables son equivalentes a alguna función Skolem base correspondiente a una fórmula de la forma $y=t(\overline{x})$ . Así que para construir la clase base del modelo, primero dejemos que $$C_0 = \{\left<f,\alpha\right>:f\text{ an }n\text{-ary Skolem fn, }\alpha\in Ord\text{ with CNF }\omega^{\beta_0}+\dots+\omega^{\beta_{n-1}}\},$$
con la interpretación prevista de que $\left<f,\alpha\right>$ es igual a $f(\beta_0,\dots,\beta_{n-1})$ . Puede definir la aplicación de la función Skolem configurando $f(\left<f_0,\alpha_0\right>,\dots,\left<f_{n-1},\alpha_{n-1}\right>)$ igual a $\left<g,\gamma\right>$ donde elegir $g$ y $\gamma$ algorítmicamente a partir de la lista $f,f_0,\dots,f_{n-1}$ y el conjunto de los exponentes en las CNF de $\alpha_0,\dots,\alpha_{n-1}$ (básicamente por el mismo tipo de razonamiento de por qué no necesitamos términos Skolem más complicados que simples funciones Skolem aplicadas a indiscernibles).
Entonces se define una relación de equivalencia en $C_0$ por $\left<f,\alpha\right> \sim \left<g,\gamma\right>$ para $\alpha = \omega^{\beta_0}+\dots+\omega^{\beta_{n-1}}$ y $\gamma = \omega^{\delta_0}+\dots+\omega^{\delta_{m-1}}$ observando un conjunto de indiscernibles en la secuencia indiscernible original con el mismo tipo de orden que $\{\beta_0,\dots,\beta_{n-1},\delta_0,\dots,\delta_{m-1}\}$ y, a continuación, comprobar la igualdad de los términos originales correspondientes. Sea $\left[ \left<f,\alpha\right>\right]$ sea la clase de equivalencia de $\left<f,\alpha\right>$ (que puede ser una clase propia). A continuación, defina la clase base real del modelo mediante el típico truco para evitar elegir representantes:
$$ C = \{ \left[\left<f,\alpha\right>\right] \cap V_\beta : \left<f,\alpha\right> \in C_0 , \, \beta \text{ minimal s.t. } \left[\left<f,\alpha\right>\right] \cap V_\beta \neq \varnothing \}.$$
(Esto sólo importa si se quiere evitar la elección de un buen ordenamiento del conjunto de funciones Skolem, de lo contrario se pueden elegir simplemente representantes). Dado que la teoría Skolemizada es completa, la definición de aplicación de la función Skolem sobre $C_0$ es coherente con $\sim$ por lo que define funciones sobre $C$ . Entonces puedes definir predicados usando un tonto truco de codificación: Sea $f_0$ sea la función Skolem 0-aria para la fórmula $y=y$ y que $f_1$ sea la función Skolem 0-aria para la fórmula $y\neq f_0$ . Entonces para cualquier $n$ símbolo de predicado -ario $P$ , dejemos que $f^\ast_P$ sea la función de Skolem correspondiente a la fórmula $\left(P(\overline{x})\rightarrow y = f_0 \right) \wedge \left( \neg P(\overline{x}) \rightarrow y = f_1 \right)$ . Entonces el predicado $P$ se define por $P(\overline{x})$ sólo si $f^\ast_P(\overline{x})=\left[\left<f_0,0\right>\right]$ . (EDIT2: Aunque nótese que esto también funciona para fórmulas en general, así que al Skolemizar una teoría en realidad también hemos construido un predicado de verdad para modelos de la teoría Skolemizada). Es evidente que ya tenemos constantes y funciones definidas en términos de las funciones de Skolem.
Y entonces más o menos por la construcción de este es un modelo de clase de la $\forall \exists$ parte de $T^{sk}$ (¿uniformemente? ya que tiene complejidad de cuantificadores acotada y se puede definir la verdad en ZFC para oraciones con complejidad de cuantificadores acotada), que implica todas las oraciones de $T^{sk}$ . También parece que esto debería ser uniforme en los parámetros $T^{sk}$ y el tipo de EM.
Y realmente creo que el único parámetro que necesitas es un buen ordenamiento del lenguaje, porque dado que canónicamente puedes escoger $T^{sk}$ y el tipo EM ampliando $\mathcal{L}$ con funciones Skolem de la forma típica a $\mathcal{L}^{sk}$ y ampliando la ordenación a $\mathcal{L}^{sk}$ ; añadir constantes $I=\{c_i: i < \omega\}$ para una secuencia de indiscernibles; añadiendo los axiomas de la función de Skolem, $\forall \overline{x} (\exists y \varphi(y;\overline{x}) \rightarrow \varphi(f_\varphi(\overline{x});\overline{x}))$ y los axiomas de secuencia indiscernible, $\varphi(\overline{c})\leftrightarrow \varphi(\overline{c}^\prime)$ y $c_0 \neq c_1$ para todos $\varphi$ y tuplas estrictamente crecientes $\overline{c},\overline{c}^\prime$ y, a continuación, elegir una terminación pasando por el $\mathcal{L}^{sk}_I$ frases $\{\varphi_i : i < \lambda \}$ según el orden de los pozos y añadiendo $\varphi_i$ si es coherente (según algún sistema de prueba fijo) y $\neg \varphi_i$ de lo contrario.
EDIT2: No he visto este pregunta antes. El argumento de Joel funciona igual aquí: Una vez que eliges un buen ordenamiento del lenguaje $\mathcal{L}$ se puede codificar en ordinales y considerar el modelo interno $L[\mathcal{L}]$ donde la elección global se mantiene y se pueden construir fácilmente modelos del tamaño de una clase. Creo que la construcción del functor EM logra algo ligeramente diferente en el sentido de que tener un functor EM para una teoría (es decir, una Skolemización y luego un tipo EM en la teoría Skolemizada) parece más débil que tener un buen ordenamiento del lenguaje, que puede ser útil.
EDIT3: Me di cuenta de que el gráfico aleatorio, $DLO$ y puede que otros tengan una propiedad en común que permita que esto funcione: Existe un procedimiento canónico para, dado un conjunto de parámetros $A$ construyendo un $|S_1(A)|$ -tipo cuyo componente $1$ -types golpea cada tipo en $S_1(A)$ . Para el grafo aleatorio podemos tomar un elemento por cada subconjunto de $A$ y añadir ninguna conexión entre los nuevos elementos y para $DLO$ que podemos añadir en cada corte. Cualquier teoría con esta propiedad tiene un modelo monstruo de clase adecuada porque podemos simplemente iterar a lo largo de $Ord$ .
Creo que está muy cerca de algo que se puede hacer con una teoría estable arbitraria, específicamente si cada tipo en $S_1(A)$ es estacionario puede tomar un tipo de producto, $\bigotimes_{p\in S_1(A)} p$ (¿creo?). El problema que tengo con esto es que los tipos sobre el nuevo conjunto de parámetros no serán necesariamente estacionarios, así que me gustaría usar tipos fuertes pero no tengo claro que haya una forma canónica de pasar de un conjunto $A$ a su cierre algebraico en $T^{eq}$ . Parece que podría necesitar una cierta cantidad de elección global para hacerlo. Pero, ¿quizás así se consiga un contraejemplo? Algo que implique un modelo de $ZFC$ donde falla la elección finita global o la elección global por pares.
