¿Cómo contar los factores de simetría de los diagramas de Feynman?

Question

Tengo bastantes temores de que esta pregunta sea rechazada. Aún así, déjame intentarlo.

Me limitaré a $\frac{\lambda \phi^4}{4!}$ teoría cuántica de campos escalares reales perturbados y llamamos "factor de simetría" de un diagrama de Feynman al número eventual por el que la potencia de $\lambda$ se divide en la representación integral final del diagrama.

De este modo, el factor de simetría de la burbuja de vacío en forma de ocho es 8 y el del "diagrama de renacuajo" es 2.

Una forma de acertar con este factor es contar el número de formas en que se pueden contraer los brazos libres en el "prediagrama". Pero esto se parece más a una regla de libro de cocina que a una comprensión de cómo se obtiene el factor.

Creo que la forma conceptualmente más correcta es contar para cada diagrama el número de términos de la representación como derivada funcional de la trayectoria-integral que dan ese diagrama.

En ese cuadro hay que argumentar que había precisamente $4!$ términos producidos por la derivada funcional que produjo esa burbuja de vacío en forma de ocho. Lo cual puedo argumentar.

Pero para el diagrama del renacuajo y el producto de la burbuja de vacío con el propagador libre, no encuentro argumento. Como que uno tiene que ser capaz de mostrar que en el cuadro de la derivada funcional hay $4!\times 3! \times (2!)^2$ términos correspondientes al diagrama de renacuajos.

¿Alguna ayuda sobre cómo se realiza este recuento o algún marco general que ayude a calcular correctamente estos factores de simetría?

Answer 1

Creo que esta pregunta se refiere sobre todo a interiorizar mentalmente la interpretación de funciones generadoras y el teorema del estabilizador orbital . Es decir, si puedes entender cómo surgen las reglas a partir de un método que te parece más natural, entonces la enumeración de automorfismos debería parecer menos como reglas arbitrarias de libro de cocina.

Hay una buena exposición de los factores de simetría en la sección 5 (página 25) de Apuntes de Alex Barnard de la clase de QFT de Richard Borcherds de 2001 . Para destilar la combinatoria de los diagramas, da un tratamiento de $\phi^4$ en dimensiones espaciotemporales cero, donde la integral de trayectoria es sólo una integral unidimensional ordinaria: $$Z = \int_\mathbb{R} e^{-\phi^2/2 - \lambda \phi^4/4!}d\phi.$$

Se puede expandir esta integral como una serie en polinomios por Gaussianos, y observar que el $\frac{(2n)!}{n!2^n}$ en la identidad $\int_\mathbb{R} \phi^{2n} e^{-\phi^2/2} d\phi = \frac{(2n)!}{n!2^n}\int_\mathbb{R} e^{-\phi^2/2}d\phi$ enumera las coincidencias de $2n$ vértices etiquetados. Si pide $k$ ( $=\frac{n}{2}$ ) tengan valencia 4, entonces existe un grupo de orden $k!(4!)^k$ que permuta los vértices y sus entradas, y este orden dividido por el orden del estabilizador de un tipo de isomorfismo particular es el orden del grupo de automorfismo. Comparando coeficientes, se encuentra que una suma sobre tipos de isomorfismo de grafos, ponderada por sus grupos de automorfismo, da exactamente los términos que aparecen en la integral de camino.

Imagino que puede haber una explicación de alto nivel utilizando la teoría de las especies, pero no soy la persona adecuada para darla.

Answer 2

Una fórmula para el cálculo de los factores de simetría en el $\lambda \phi^4$ teoría se da en artículo por Dong Hue Long y Thao