Igual volumen si existe un difeomorfismo

Question

Sea M una variedad lisa orientada compacta. Sea $w_1$ y $w_2$ sean formas de dos volúmenes. Que la integral de ambas formas sobre M sea igual, es decir, que vol(M) sea igual para ambas formas.

Demuestre que existe un difeomorfismo f de M a M tal que $f^*(w_2)=w_1$

Por supuesto, si tal f existe, entonces por cambio de fórmula variable los volúmenes serán iguales.

También se dijo en clase que aparentemente este no es el caso para las variedades simplécticas y este es un invariante global. ¿Algún comentario al respecto?

Answer 1

Este es un teorema de Moser:

Supongamos que $\omega_0, \omega_1$ son dos formas de volumen (con el mismo masa) en un colector compacto. Entonces existe un difeomorfismo $\phi$ en $M$ para que $\phi^*\omega_1=\omega_0$ .

Prueba: Sea $$ \omega_s=\omega_0+s(\omega_1-\omega_0). $$ Desde $\omega_0$ y $\omega_1$ tiene la misma masa total, son en la misma clase de cohomología. Por tanto, existe una $n-1$ formulario $\eta$ para que $$ \omega_1-\omega_0=d\eta. $$ Obsérvese, (esto se ve más fácilmente al escribir todas las formas en un sistema de coordenadas local $(x_1,...,x_n)$ , existe un único campo vectorial $X_s$ para que $$ \iota_{X_s}\omega_s=-\eta. $$

Sea $\phi_s$ es el grupo de difeomorfismo de un parámetro que es generado por $X_s$ .

Calcular, en el momento $s=t$ , $$ \begin{aligned} \frac{d}{ds}(\phi_s^*\omega_s)\Big|_{s=t}=&L_{X_t}(\phi_t^*\omega_t)+ \phi_t^*(\omega_1-\omega_0)\\ =&d\iota_{X_t}(\phi_t^*\omega_t)+\iota_{X_t}d(\phi_t^*\omega_t)+ \phi_t^*(\omega_1-\omega_0)\\ =&d\phi_t^*(-\eta)+\phi_t^*(d\eta)\\ =&0. \end{aligned} $$ Aquí aviso, $(\phi_t)_*X_t=X_t$ como campo vectorial.

Así $$ \phi_1^*\omega_1=\phi_0^*\omega_0=\omega_0. $$

Answer 2

Sea $S^2(1)$ denotan la esfera con forma simpléctica/volumen estándar $\omega$ con el volumen 1 y $S^2(r)$ la esfera dotada de la forma $r\omega$ . Entonces las variedades $$S^2(r) \times S^2(R)$$ para $r < R$ nunca son simplectomorfos a menos que $(r, R) = (r', R')$ . Se puede comprobar esto viendo que el conjunto de valores dado por la integración de $\omega$ sobre elementos primitivos de $H_2(M;\Bbb Z)$ con auto-intersección 0 da un invariante, y el conjunto de valores en el caso anterior es $\{-R, -r, r, R\}$ .

Pero el volumen de este colector es $rR$ . Así $S^2(r) \times S^2(1/r)$ da una familia incontable de variedades simplécticas que no son simplectomorfas por pares pero tienen el mismo volumen.