¿Cómo distinguir los distintos elementos de un semigrupo?

Question

Recientemente he empezado a aprender álgebra abstracta por mi cuenta y hay algo con lo que estoy luchando en este momento.

Supongamos que tenemos un semigrupo con dos elementos $a,b$ y una multiplicación binaria definida por $ab=ba=aa=bb=a$ . ¿Realmente podemos decir que $a$ y $b$ son diferentes en el contexto de este semigrupo? En términos más generales, si tenemos un semigrupo en el que $ax=bx$ y $ya=yb$ para todos $x,y$ ¿podemos decir realmente que $a$ y $b$ son elementos diferentes en el semigrupo?

Edita: Mirando las respuestas dadas parece que he sido un poco confuso sobre la cosa que estoy teniendo problemas en este momento, así que voy a tratar de reformular y aclarar algunas cosas. Entiendo que las leyes de cancelación no se aplican en general a los semigrupos, y como se puede ver en la pregunta original no tengo ningún problema para entender que el semigrupo que di en realidad es un semigrupo.

Lo que me plantea problemas es el hecho de que, en el ejemplo que he dado, parece darse el caso de que la única diferencia real entre los objetos $a$ y $b$ en el semigrupo son sus etiquetas, más que cualquier propiedad inherente que tengan los elementos en el contexto del semigrupo . Así que mi pregunta podría formularse mejor de la siguiente manera: si dos elementos $a$ y $b$ en un semigrupo $s$ son tales que $ax=bx$ y $ya=yb$ para todos $x,y\in S$ ¿hay alguna forma de intentar investigar si la única diferencia real entre $a$ y $b$ en el contexto de $S$ ¿es su etiquetado? Como alguien señaló en los comentarios a mi post original, si fueran diferentes $a$ resolvería la ecuación $xx=x$ mientras que $b$ no resolvería $xx=x$ haciéndolos realmente distintos dentro del semigrupo. Este es el tipo de respuesta que estaba buscando al principio.

Espero que esta edición aclare algunas cosas. Tal vez mi forma de pensar sobre esto es errónea para empezar, pero se siente improductivo para comunicarse más allá de uno al otro.

Answer 1

Todavía no estoy seguro de haber entendido bien su pregunta, pero la noción de un cuasi-identidad de semigrupo podría ayudarte. Efectivamente parece que quieres probar si un semigrupo satisface la cuasi-identidad $$ (ax = bx \wedge ya = yb) \to a = b $$

Answer 2

Sí, claro.

Sea $S$ denota un conjunto que contiene un elemento $z$ y definir $st=z$ para todos los elementos $s,t\in S$ .

Entonces la multiplicación es evidentemente asociativa, por lo que $S$ dotado de esa multiplicación es por definición un semigrupo.

Además, todos los productos tienen el mismo valor $z$ .

No existe ninguna condición sobre $S$ (también si $S=\varnothing$ entonces vacuamente todos los productos son iguales).

Answer 3

Sí. Considere el conjunto $\{0,1\}$ con la operación $\star$ definido por $a\star b=0$ .

Esto es claramente asociativo y $0\star 1=1\star 0=0\star 0 = 1\star 1=0$ .

Answer 4

Responderé yo mismo a esta pregunta en lugar de reformularla, ya que me resultó difícil formularla de forma clara cuando la escribí por primera vez. En aquel momento era completamente novato en semigrupos (y todavía estoy lejos de estar lo suficientemente familiarizado como para ser un experto en el tema), y me resultaba difícil apreciar que el semigrupo $S=(\{a,b\},\cdot)$ como se define en mi pregunta puede describir una "estructura real" con la regla de multiplicación dada y donde $a$ y $b$ eran realmente elementos distintos de una forma más "esencial" que el mero hecho de tener etiquetas diferentes. Luego me familiaricé un poco más con la teoría de representaciones, y así es como finalmente conseguí resolver mis problemas con el semigrupo $S$ .

Podemos representar $S$ fielmente utilizando matrices de 3 por 3 de la siguiente manera: sea

$$a=\left( \begin {matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end {matrix} \right)\quad\text{and}\quad b=\left( \begin {matrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end {matrix} \right),$$ y que $\cdot$ sea el producto matricial estándar. Es intuitivamente claro que $a\neq b$ y que esta diferencia no se limita a etiquetas diferentes. También es sencillo comprobar que, efectivamente,

$$aa=ab=ba=bb=a,$$ como debe ser. Así que podemos dar una realización concreta de $S$ de esta forma, en la que la multiplicación no es algo que hayamos inventado sobre la marcha para dar un ejemplo "fácil" de un grupo, sino más bien una multiplicación que debería resultar familiar a la mayoría de las personas que se plantean este tipo de preguntas. Cabe señalar que no es posible encontrar una representación matricial fiel de $S$ utilizando matrices de 2 por 2, pero dejo al lector que averigüe por qué ;)