Ya sea derivado de $\ln(x)$ es $\frac{1}{x}$ para $x>0$ ¿sólo?

Question

Ya sea derivado de $\ln(x)$ es $\frac{1}{x}$ para $x>0$ ¿sólo? ¿No podemos escribir $$\frac{d}{dx} {\ln|x|} = \frac{1}{x} $$ de modo que podamos obtener la fórmula de integración correspondiente para $\frac{1}{x}$ fácilmente como $$\ln|x|$$ He repasado esto pero sólo habla de la integración Es la integral de $\frac{1}{x}$ igual a $\ln(x)$ o $\ln(|x|)$ ?

Answer 1

Para $x>0$ $\frac{d}{dx}\ln |x|=\frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x}$

para $x<0$ $\frac{d}{dx}\ln |x|=\frac{d}{dx}\ln (-x)=\frac{1}{-x}\times \frac{d}{dx}(-x)=\frac{1}{-x}\times (-1)=\frac{1}{x} $

Por lo tanto $\int \frac{1}{x}dx=\ln |x|+C, x \ne 0$

Answer 2

En realidad hay que dividir el caso si $x$ es mayor que cero o es menor.

La razón es que se puede tratar con diferentes constantes de integración. Así que los pasos que tienes que ir a través de son:

• Encuentre el rango de $x$
• Si el intervalo se encuentra en un número positivo/negativo, puede aplicar $\frac{d}{dx}\ln|x|=\frac{1}{x}.$ Si no, hay que dividir los casos.

Answer 3

Desde $|x|=\sqrt{x^2}$ tenemos $\bigl(\ln|x|\bigr)'=\bigr(\ln(\sqrt{x^2})\bigr)'=\dfrac{1}{\sqrt{x^2}}\dfrac{1}{2\sqrt{x^2}}\cdot2x=\dfrac{x}{|x|^2}=\dfrac{x}{x^2}=\dfrac{1}{x}$ .