Si trazamos y comparamos las curvas v-t o I-t con la curva exponencial real podemos ver que son iguales, pero ¿por qué? ¿Hay alguna prueba?
A partir de la ecuación podemos ver que e está creando un puente entre la propiedad eléctrica y el tiempo. ¿Por qué e?
Tengo un buen libro de texto que cubre las características de la curva y cómo se puede utilizar, pero no muestra ninguna prueba matemática.
La capacitancia se define como:
\$C = \frac{Q}{V}\$
e igualmente:
\$C = \frac{\delta Q}{\delta V}\$
Dado que la corriente se define como la tasa de cambio de carga:
\$I(t) = \frac{\delta Q(t)}{\delta t}\$
Así:
\$I(t) = C \frac{\delta V(t)}{\delta t}\$
Si montamos un circuito con una fuente de tensión, una resistencia y un condensador
\$V = V_r + V_c\$ y esto crea una ecuación diferencial
\$v = i(t)R + \frac{1}{C}\int i(t) \delta t \$
La resolución de tales ecuaciones diferenciales produce una ecuación:
\$I(t) = \frac{V}{R}e^\frac{-t}{RC}\$
Que igualmente se puede reordenar para que sea
\$V(t) = V(1-e^\frac{-t}{RC}) \$ teniendo en cuenta las condiciones iniciales
Intuitivamente, la relación entre el voltaje del condensador y la corriente es simplemente i = (E - Vc)/R, por la ley de Ohm, por lo que a medida que aumenta el voltaje del condensador la corriente debe disminuir como una especie de espejo.
Obtener una de las dos funciones wrt tiempo requiere resolver la ecuación diferencial,
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