¿Es el mapa de inclusión siempre un homomorfismo de módulo?

Question

Supongamos que $R$ es un anillo conmutativo y $G$ un grupo finito tal que $R[G]$ es el anillo de grupo habitual. Si $M$ es algo $R[G]$ -entonces podemos inyectar $M\hookrightarrow M\oplus R[G]^n$ para algunos $n\geq 1$ . ¿Es esto necesariamente un $R[G]$ -¿homorfismo?

Answer 1

Sí, la inclusión de un factor en un producto directo $M \to M \oplus N$ definido por $m \mapsto (m, 0)$ es siempre un homomorfismo inyectivo, independientemente de los módulos que se elijan para $M$ y $N$ . En particular, puede inyectar $M \to M \oplus R[G]^n$ no sólo para algunos $n$ pero en realidad para cualquier $n$ .

Si $M$ y $N$ son $G$ -sería un buen ejercicio escribir la definición de los módulos $G$ -módulo acción en $M \oplus N$ y los axiomas que debe satisfacer un homomorfismo, y luego comprobar que el mapa de inclusión $M \to M \oplus N$ satisface efectivamente estos axiomas.