Si $K/\mathbb{Q}$ es un campo de número que no es $\mathbb{Q}$ o de una ecuación cuadrática imaginario campo y luego, por la unidad de Dirichlet teorema tiene una unidad de orden infinito. Hay una prueba simple de este hecho, lo que no transportar en toda la maquinaria de la unidad teorema? En una pregunta relacionada es cierto que ese $K$ siempre se genera sobre $\mathbb{Q}$ por una unidad (que no podría ser de infinita orden (cf. el caso de una cyclotomic campo), y si lo es, hay una simple prueba de este hecho?
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pix0r
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La respuesta a la pregunta 2 como se dijo es que no. Deje $K = \mathbb{Q}(\sqrt{p},\sqrt{-b})$, $p$ 1 mod 4. Por Frohlich y Taylor, p. 196, la unidad fundamental del grupo es generado por una unidad de la real cuadrática de subcampo. Entonces es suficiente para mostrar que podemos elegir el b, por lo que K no contiene las raíces de la unidad distinta de $\pm 1$. Pero la única posibilidad es que K contiene una 3ª, 4ª o 5ª de la raíz de la unidad, por lo que sólo pick $b$ para evitar la ramificación en 2, 3 o 5.
Franz Lemmermeyer
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Dirichlet de la unidad teorema es relativamente directa de extensión de la conocida prueba de que la ecuación de Pell tiene una solución no trivial por un uso inteligente de Dirichlet del cuadro de principio. La "maquinaria" es sólo necesaria para el control de la explosión combinatoria, o, tan lejos como la geometría de los números se refiere, como una generalización natural de la caja de principio.
En cuanto a tu segunda pregunta, pensé por primera vez que la respuesta es no. Tomemos, por ejemplo, un biquadratic campo de número de $K = {\mathbb Q}(\sqrt{m},\sqrt{n}\,)$, $m,n > 0$ elige de tal manera que la unidad de índice (unidades de K : unidades de los subcampos) es 1. Esto implica que las únicas unidades de K son múltiplos de los que provienen de los tres subcampos. Pero usted todavía consigue generadores del campo por tomar el producto de dos unidades procedentes de diferentes subcampos, por lo que su pregunta está todavía abierto.
