Generalización de una propiedad de dos variables aleatorias independientes a más de dos

Question

Notación y configuración:

• Sean todas las variables aleatorias definidas en un espacio de probabilidad $(\Omega, \mathscr A, P)$
• Sea $\mathscr B=\mathscr B(\mathbb R)$ sea el álgebra de Borel-sigma en $\mathbb R$
• Una colección de variables aleatorias $(X_i)_{i\in I}$ es independiente, si su generado $\sigma$ -algebras $(\sigma(X_i))_{i\in I}$ son independientes.
• Si $X$ y $Y$ son variables aleatorias independientes, y $\mathscr C = \sigma(Y)$ entonces para todo $C \in \mathscr C$ , $X$ y $1_C$ son independientes. Esto se debe a que $\mathscr C = \sigma(Y) = \{Y^{-1}(B): B\in\mathscr B\},$ para que $C=Y^{-1}(B), $ para algún conjunto de Borel $B$ y $1_C = 1_{Y^{-1}(B)} = 1_B(Y)$ . Entonces $X$ y $1_B(Y)$ son independientes, porque $1_B(Y)$ es una función medible de $Y$ .

Pregunta:

Tuve que mostrar la última afirmación mientras trabajaba en un problema. Ahora me pregunto si se generaliza a más de dos variables aleatorias. Así que mi pregunta es:

Sea $X,Y$ y $Z$ ser independiente y $\mathscr C = \sigma(Y,Z)$ . L $C \in \mathscr C$ . Will $X$ y $1_C$ ¿ser siempre independiente?

No estoy seguro de cómo abordar esto, porque hasta donde yo sé, $C$ no puede escribirse fácilmente como una imagen previa de $Y$ y $Z$ ya que $\mathscr C = \sigma(\sigma(Y) \cup \sigma(Z)) = \sigma(Y^{-1}(\mathscr B) \cup Z^{-1}(\mathscr B))$ .

He intentado escribir la álgebra sigma generada por $1_C$ es $\{\emptyset, C, C^C, \Omega\}$ . Pero esto tampoco parece llevar a ninguna parte.

¿Lo que intento mostrar es un resultado conocido? ¿O es falsa la afirmación?

Gracias.

Answer 1

Se puede demostrar que: $$\sigma(Y,Z)=\{\{\langle Y,Z\rangle\in B\}\mid B\in\mathscr B(\mathbb R^2)\}\tag1$$

Así que si $C\in\sigma(Y,Z)$ entonces $C=\{\langle Y,Z\rangle\in B\}$ para algunos $B\in\mathscr B(\mathbb R^2)$ .

Entonces $1_C=1_B(Y,Z)$ .

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En general, si $f$ es una función entonces: $$\sigma(f^{-1}(\mathcal C))= f^{-1}(\sigma(\mathcal C))\tag2$$

Para una prueba de $(2)$ véase esta respuesta .

Esto se puede aplicar aquí en la función $f:\Omega\to\mathbb R^2$ prescrito por $\omega\mapsto\langle Y(\omega),Z(\omega)\rangle$ y $\mathcal C=\mathscr B(\mathbb R^2)$ y da lugar a $(1)$ .

Answer 2

Una definición común de independencia de un conjunto de $\sigma$ -algebras $\left(\mathcal A_i\right)_{i\in I}$ es que para amy toy subconjuntos disjuntos $J$ y $K$ de $I$ El $\sigma$ -algebras $\sigma\left(\bigcup_{j\in J} \mathcal A_j\right)$ y $\sigma\left(\bigcup_{k\in K} \mathcal A_k\right)$ son independientes.

En su contexto, seleccione $I=\{1;2;3\}$ , $\mathcal A_1=\sigma(X)$ , $\mathcal A_2=\sigma(Y)$ , $\mathcal A_3=\sigma(Z)$ , $J=\{1\}$ y $K=\{2;3\}$ .