Teoría K - dependencia de la estructura algebraica: ¿Qué es la teoría K de un producto directo?

Question

Quiero averiguar la dependencia de la clase K de un anillo proyectivo finitamente generado y su estrutura algebraica.

Por ejemplo $K_0(\mathbb{C})\cong \mathbb{Z}$ y $K_0(\mathbb{R}\times\mathbb{R})$ , donde el algebraico on $\mathbb{C}$ es la multiplicación estándar y en $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ la multiplicación viene dada por: $(r_1,r_2)\times (r_1',r_2')\mapsto (r_1*r_1',r_2*r_2')$ . Son $K_0(\mathbb{C})$ y $K_0(\mathbb{R}\times\mathbb{R})$ ¿isomorfo? ¿Qué podemos decir en general?

Answer 1

Presumiblemente la teoría K algebraica preserva las sumas directas finitas. En ese caso $K_0(\mathbb R\times\mathbb R)$ no puede ser $\mathbb Z$ .

Answer 2

El grupo de Grothendieck de un campo $k$ es siempre igual a $\mathbb{Z}$ - el anillo de los números enteros. El isomorfismo es el siguiente:

$i: K_0(k) \cong \mathbb{Z}$ con $i([V]):=dim(V)$ .

En general existe para anillos unitales comutativos arbitrarios $A_j, j=1,..,l$ un isomorfismo

D1. $K_i(A_1\oplus \cdots \oplus A_l)\cong K_i(A_1)\oplus \cdots \oplus K_i(A_l)$

para cualquier número entero $i\geq 0$ Por lo tanto $K_0(\mathbb{R}\times \mathbb{R})\cong \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$ .

Pregunta: "¿Son K0(C) y K0(R×R) isomorfos? ¿Qué podemos decir en general?"

Respuesta: Se cumple lo siguiente:

$K_0(\mathbb{C})\cong \mathbb{Z} \neq K_0(\mathbb{R}\times \mathbb{R})$ .