¿Existe una notación estándar para la colección $\{R\cap S:R\in\pi,S\in\sigma\}$ donde $\pi$ y $\sigma$ son colecciones de subconjuntos de un conjunto $X$ ?

Question

Sea $X$ sea un conjunto, y $\wp(X)$ sea la colección de todos los subconjuntos de $X$ y que $\pi$ y $\sigma$ cualquier subcolección de $\wp(X)$ . Considere la colección \begin{equation*} \{R\cap S:R\in\pi,S\in\sigma\}, \end{equation*} ¿existe una notación estándar para esta colección?

Mi interés por esta colección se debe a lo siguiente. Que $\wp^2(X)$ denota la colección de todos los subconjuntos de $\wp(X)$ , y que $\lesssim$ denotan el "orden de refinamiento invertido" en $\wp^2(X)$ es decir, $\pi\lesssim\sigma$ si y sólo si para cada $R$ en $\pi$ hay un $S$ en $\sigma$ tal que $R\subseteq S$ , para cualquier $\pi,\sigma\in\wp^2(X)$ . Entonces $\lesssim$ es un preorden en $\wp^2(X)$ . Sea $\sim$ sea la relación sobre $\wp^2(X)$ definido para cualquier $\pi$ y $\sigma$ en $\wp^2(X)$ por $\pi\sim\sigma$ sólo si $\pi\lesssim\sigma$ y $\sigma\lesssim\pi$ . Entonces $\sim$ es una relación de equivalencia en $\wp^2(X)$ , y un orden parcial $\leq$ sobre la colección $\wp^2(X)/\sim$ de clases de equivalencia $[\pi]$ ( $\pi\in\wp^2(X)$ ) puede definirse mediante \begin{equation*} [\pi]\leq[\sigma]\quad\text{if and only if}\quad\pi\lesssim\sigma. \end{equation*} Si $\upsilon$ es la colección $\{R\cap S:R\in\pi,S\in\sigma\}$ , entonces la clase de equivalencia $[\upsilon]$ sería el mayor límite inferior de $[\pi]$ y $[\sigma]$ bajo el orden parcial $\leq$ .

Answer 1

$$ \def\leq{\leqslant} \def\geq{\geqslant} \def\cP#1{{\cal P}(#1)} \def\PpS{{\cal P}^\uparrow(S)} $$ No conozco una notación específica para este caso, pero como tu operación es una instancia de una construcción más general, puede que te interese conocer esta configuración más general.

Si $S$ es un semigrupo, el conjunto $\cP{S}$ de subconjuntos de $S$ es también un semigrupo, para el producto definido, para cada $X, Y \in \cP{S}$ por $$ XY = \{ xy \mid x \in X, y \in Y \} $$ Este semigrupo se denomina semigrupo de potencia (o semigrupo global ) de $S$ . Por tanto, su construcción no es más que el semigrupo potencia del semigrupo $S = (\cP{X}, \cap)$ .

Existe una noción similar para los semigrupos ordenados. Un semigrupo ordenado es un semigrupo $S$ dotado de un orden parcial $\leq$ tal que $x \leq y$ implica $zx \leq zy$ y $xz \leq yz$ es decir, un preorder estable .

Sea $(S,\leq)$ sea un semigrupo ordenado. Se puede definir una relación de preorden $\leq$ en $\cP{S}$ estableciendo $X \leq Y$ si y sólo si, para cada $y\in Y$ existe $x \in X$ tal que $x \leq y$ . Es fácil ver que esto define un preorden estable en $\cP{S}$ . Denotemos por $\sim$ la relación de equivalencia definida por $X \sim Y$ sólo si $X \leq Y$ y $Y \leq X$ . Entonces $\sim$ es una congruencia en $\cP{S}$ y el pedido anticipado $\leq$ induce un orden parcial estable en el semigrupo $\cP{S}/{\sim}$ .

Pero hay una forma más directa de obtener el semigrupo ordenado resultante. Sea $\PpS$ sea el conjunto de conjuntos superiores de $(S, \leq)$ . Definir el producto de dos elementos $U$ y $V$ de $\PpS$ como el conjunto superior generado por $UV$ y tomar la inclusión como la orden en $\PpS$ . Dejo que verifiques que obtienes el mismo semigrupo ordenado que arriba.

En la segunda parte de tu post, aplicas esta construcción al semigrupo ordenado $(S, \leq) = (\cP{X}, \cap, \subseteq)$ excepto que inviertes el orden al final.