Renombrar los elementos de una estructura matemática

Question

Una de las ideas más básicas sobre las estructuras matemáticas es que podemos cambiar el nombre de sus elementos sin cambiar fundamentalmente la estructura.

Pregunta. ¿Cómo formalizar realmente esta observación en su máxima generalidad?

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He aquí un intento que hice, tomando como ejemplo los espacios topológicos.

Reclamación: Supongamos que $X$ y $X'$ son conjuntos y $f : X \rightarrow X'$ es una biyección. Entonces para todos los espacios topológicos $(X,\tau),$ existe un único espacio topológico $(X',\tau')$ tal que $f$ es un homeomorfismo $(X,\tau) \rightarrow (X',\tau').$

Boceto de prueba .

Existencia: Sólo toma $\tau' = \{\;f(B) \mid B \in \tau\;\}.$

Singularidad: Supongamos que tenemos distintos $\tau',\tau''$ cumpliendo la condición. Entonces: $$B \in \tau' \Leftrightarrow f^{-1}(B) \in \tau \Leftrightarrow f(f^{-1}(B)) \in \tau''$$

Así que $\tau'=\tau'',$ una contradicción.

Observación . No estaba seguro de cómo etiquetar la pregunta. Por favor, siéntase libre de editar.

Answer 1

Se llama transporte de estructura . Formalmente, tomemos dos conjuntos $X,Y$ con una biyección $f \colon X \to Y$ . Supongamos que $X$ es el conjunto base de a $\mathcal L$ -estructura $\mathfrak X$ . Entonces existe un $\mathcal L$ -estructura $\mathfrak Y$ con $Y$ como conjunto base definido por : para cada símbolo constante $c$ símbolo de función $\phi$ y símbolo de relación $R$ de la lengua $\mathcal L$ , $$c^{\mathfrak Y} := f(c^{\mathfrak X}),$$ $$\phi^{\mathfrak Y} := (y_1,\dots,y_k) \mapsto f(\phi^{\mathfrak X}(f^{-1}(y_1),\dots,f^{-1}(y_k))),$$ $$R^{\mathfrak Y} := \{ (y_1,\dots,y_k) \in Y^k : (f^{-1}(y_1),\dots,f^{-1}(y_k)) \in R^{\mathfrak X}\}.$$

Además, esta estructura hace que $f$ un isomorfismo de $\mathcal L$ -estructuras. Por definición de "isomorfismo de $\mathcal L$ -estructuras", es único.