Cortar una banda de Möbius por la mitad

Question

¿Por qué el resultado de cortar una banda de Möbius por la mitad longitudinalmente tiene dos giros completos? Puedo explicar un giro completo: la identificación de la esquina superior izquierda con la inferior derecha es un medio giro; del mismo modo, la identificación de la esquina superior derecha y la inferior izquierda contribuye a otro medio giro. Pero ¿dónde está la segunda completo ¿de dónde viene el giro?

Se valorarán mucho las explicaciones con ejemplos o analogías extraídas de la vida real.

edit: Estoy pegando la de J.M. Mathematica código aquí (ver su respuesta), modificado para la versión 5.2.

twist[{f_, g_}, a_, b_, u_] := {Cos[u] (a + f Cos[b u] - g Sin[b u]), 
      Sin[u] (a + f Cos[b u] - g Sin[b u]), g Cos[b u] + f Sin[b u]};

With[{a = 3, b = 1/2, f = 1/2},
Block[{$DisplayFunction = Identity}, 
g1 = ParametricPlot3D[Evaluate[Append[twist[{f - v, 0}, a, b, u],
  {EdgeForm[], FaceForm[SurfaceColor[Red], SurfaceColor[Blue]]}]],
  {u, 0, 2 Pi}, {v, 0, 2 f}, Axes -> None, Boxed -> False];
g2 = ParametricPlot3D[Evaluate[Append[twist[{f - v, 0}, a, b, u],
  EdgeForm[]]], {u, 0, 4 Pi}, {v, 0, 2 f/3},
  Axes -> None, Boxed -> False];
g3 = ParametricPlot3D[Evaluate[Append[twist[{f - v, 0}, a, b, u],
  {EdgeForm[], FaceForm[SurfaceColor[Red], SurfaceColor[Blue]]}]],
  {u, 0, 2 Pi}, {v, 2 f/3, 4 f/3}, Axes -> None, Boxed -> False,
 PlotPoints -> 105]];
GraphicsArray[{{g1, Show[g2, g3]}}]];

Answer 1

Uno de los giros procede de los dos medios giros de la banda de Möbius. Otra viene del hecho de que justo después de haber hecho el corte, la tira resultante de medio ancho va dos veces alrededor del corte, para que gire una vez más al desplegarlo en un círculo grande.

Intenta hacer una tira ordinaria que dé dos vueltas alrededor de un cilindro y luego se encuentre consigo misma, sin un giro de Möbius. Si se quita el cilindro y se intenta desplegar la tira hasta convertirla en un círculo, tendrá una torsión completa. Esta torsión se debe al hecho de que la línea central de la banda debe enrollarse sobre sí misma cuando da dos vueltas alrededor del cilindro. (En el caso del corte de Möbius, la dirección de este enrollamiento depende de la dirección en la que se retorció la banda de Möbius original, lo que significa que la única torsión del despliegue se suma a los dos medios giros en lugar de anularlos).

Otro efecto cotidiano que muestra esto (a la inversa) es intentar envolver una goma elástica (una goma ordinaria de sección cilíndrica y sección transversal plana) dos veces alrededor de un paquete. Tendrá que girar para hacerlo, aunque pueda quedar plano envuelto. una vez alrededor del paquete.

Answer 2

Parece que llego terriblemente tarde (soy bastante lento como mecanógrafo), pero espero que esta respuesta sea complementaria y no redundante.

Que la banda de Möbius tiene un único "giro" queda patente en el choque de colores que aparece cuando se intenta colorear una "cara" de rojo y la opuesta de azul. Este choque de colores no se produce en la banda cortada, ya que se necesitan dos giros para completar un circuito a través de la superficie.

Matemáticamente, consideremos la siguiente parametrización de la banda de Möbius:

$$\begin{align*}x&=\left(r+(2-v)\cos\frac{u}{2}\right)\cos\,u\\y&=\left(r+(2-v)\cos\frac{u}{2}\right)\sin\,u\\z&=(2-v)\sin\frac{u}{2}\end{align*}$$

donde $0 \leq v \leq 2$ y $0 \leq u \leq 2\pi$ . El vector normal a esta superficie es

$$\begin{pmatrix} \frac12\left(r\sin\frac{u}{2}-r\sin\frac{3u}{2}-2(v-2)\sin\,u\sin^2\frac{u}{2}\right) \\ \frac12\left((v-2)(\sin^2 u+\cos\,u)-2r\sin\frac{u}{2} \sin\,u\right) \\ \left(r-(v-2)\cos\frac{u}{2}\right)\cos\frac{u}{2} \end{pmatrix}$$

Se puede comprobar que las expresiones del vector normal en $u=0$ y $u=2\pi$ no son iguales, pero las expresiones del vector normal en $u=0$ y $u=4\pi$ de acuerdo. Esto significa que si trazamos un lápiz a través de la superficie de la banda de Möbius habitual (es decir, fijamos $v$ y varían $u$ ), después de exactamente una vuelta a través de la superficie, tu lápiz debería terminar en el punto exactamente debajo de tu punto de partida original. Para la banda de Möbius "cortada" (misma ecuación paramétrica, pero $0 \leq v \leq \frac23$ y $0 \leq u \leq 4\pi$ ), dos vueltas ( $2\times2\pi$ ) devolverá el lápiz a su punto de partida.

---

Aquí hay varios Mathematica código:

twist[{f_, g_}, a_, b_, u_] := {Cos[u] (a + f Cos[b u] - g Sin[b u]), 
  Sin[u] (a + f Cos[b u] - g Sin[b u]), g Cos[b u] + f Sin[b u]}

With[{a = 3, b = 1/2, f = 1/2},
 g1 = ParametricPlot3D[
   twist[{f - v, 0}, a, b, u], {u, 0, 2 Pi}, {v, 0, 2 f}, 
   Axes -> None, Boxed -> False, Mesh -> None, 
   PerformanceGoal -> "Quality", PlotStyle -> FaceForm[Red, Blue]];
 g2 = ParametricPlot3D[
   twist[{f - v, 0}, a, b, u], {u, 0, 4 Pi}, {v, 0, 2 f/3}, 
   Axes -> None, Boxed -> False, Mesh -> None, 
   PerformanceGoal -> "Quality", PlotPoints -> 85, 
   PlotStyle -> FaceForm[Red, Blue]];
 g3 = ParametricPlot3D[
   twist[{f - v, 0}, a, b, u], {u, 0, 2 Pi}, {v, 2 f/3, 4 f/3}, 
   Axes -> None, Boxed -> False, Mesh -> None, 
   PerformanceGoal -> "Quality", PlotPoints -> 85, 
   PlotStyle -> Opacity[1/10, Blue]];
 GraphicsGrid[{{g1, Show[g2, g3]}}]]

Answer 3

Observa que el límite de una banda de Möbius es un círculo. Cuando cortas, creas más límites; se trata, de hecho, de un segundo círculo.

Durante este proceso, la banda de Möbius pierde su no orientabilidad. Haz dos bandas de Möbius con papel y un poco de cinta adhesiva. Corta una y deja la otra sin cortar. Ahora coge cada una y traza una línea por el medio. La línea volverá y se encontrará consigo misma en la banda de Möbius; en la banda de Möbius cortada, no.