Prueba de que $|x||y|=|xy|$ donde $|a|$ es el orden de $a$

Question

Sea $G$ sea un grupo finito, $|a|$ el orden de $a$ definido como el mínimo número entero positivo tal que $a^{p}=1$

Dado $x,y\in G$ Reunión

$(1):xy=yx$ ,

$(2):gcd(|x|,|y|)=1$

Demostrar que $|x||y|=|xy|$

.

Mi intento fue:

Sea $|x|=n, |y|=m$

Utilizando $(1)$ Lo entiendo. $(xy)^{nm}=x^{nm}y^{nm}=1$

Ahora tengo que demostrar que $\nexists p\in \mathbb{Z} ^+$ tal que $(xy)^p=1, p<mn$

En otros ejercicios similares supuse que $p$ existía y encontró una contradicción

Pensé en hacer:

$1=(xy)^p=x^p y^p \implies x^p=1$ et $y^p=1$

Entonces el resto sería fácil, pero no sé si esa última implicación es cierta y no he encontrado la manera de demostrarlo.

¿Podría decirme si eso es cierto o no, o una pista sobre otra forma de resolver el problema? Gracias

.

Edita:

Sé que la última implicación no es cierta en general, pero estoy asumiendo la condición $(2)$

Answer 1

Que el producto de dos elementos sea la identidad, no hace que ambos sean la identidad. Pero se obtiene $x^p=y^{-p}\implies x^p\in \langle x\rangle\cap\langle y\rangle$ . Es decir $x^p=e=y^{-p}$ . (Aquí he utilizado que los grupos cíclicos generados por $x$ et $y$ tienen órdenes relativamente primos).

Answer 2

Considere $a$ et $a^{-1}$ . Entonces $\operatorname{ord}(a) = \operatorname{ord}(a^{-1})$ pero $\operatorname{ord}(a \cdot a^{-1}) = \operatorname{ord}(e) = 1$