¿Cuántos $n$ -¿hay tuplas?

Question

La pregunta es extremadamente corta y concisa.

¿Cuántos $n$ -tuplas $X \in \{\, -1,0,1 \,\}^n$ tienen la propiedad de suma cero $\sum_{x \in X} x = 0$ ?

De momento no tengo nada que compartir ya que acabo de darme cuenta de que mis cálculos anteriores eran erróneos.

Answer 1

El número de $+1$ et $-1$ debe ser el mismo. Así que tienes que decidir:

• ¿Cuántos $+1$ (igual a $-1$ ), para $\binom{n}{n - 2 k} = \binom{n}{2 k}$ opciones de colocación del $0$
• Piensa en la $2 k$ lugares colgados, ahora tienes que decidir cuáles se $+1$ o $-1$ para $\binom{2 k}{k}$ alternativas.

Bien, ahora cóselo todo junto:

$\begin{align} \sum_{k \ge 0} \binom{n}{2 k} \binom{2 k}{k} \end{align}$

máxima afirma que esto no es Gosper-sumable, así que dudo que haya una forma más simple.

Answer 2

Obsérvese en primer lugar que para cada $1$ en una tupla necesitamos exactamente una $-1$ y el resto de entradas deben ser $0$ . Por lo tanto, las multiplicidades de $-1,0$ et $1$ en un $n$ -tupla ya están determinados por el número de $1$ -entradas (llamamos a este número $k$ ) y $n$ .

Ahora, para algunos $k$ ¿de cuántas formas distintas podemos reordenar las entradas de a $n$ -tupla con $k$ $1$ -¿entradas? La respuesta viene dada por los coeficientes multinomiales: $$\binom{n}{k,k,n-2k} = \frac{n!}{k!k!(n-2k)!}$$

Por último, podemos tener como máximo $k = \lfloor n/2 \rfloor$ muchos $1$ 's en un $n$ -ya que más no dejará espacio suficiente para $-1$ 's. Por lo tanto, concluimos que hay $$\sum_{k=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} \binom{n}{k,k,n-2k}$$ muchos $n$ -tuplas en $\{-1,0,1\}^n$ satisfaciendo la propiedad de suma cero.

(Quizá sea posible simplificar más la expresión, pero no estoy seguro de cómo).