En $\mathrm{E}_7/(\mathrm{SU}_8/(\mathbb{Z}/2))$ llevar una estructura casi compleja?

Question

Recordemos la lista de espacios simétricos interiores irreducibles simplemente conectados de tipo compacto en dimensión $4k+2$ :

1. Espacios simétricos hermitianos (se pueden escribir explícitamente);

2. Grassmannianos de reales orientados $p$ -aviones en $\mathbb{R}^{p+q}$ con $pq=4k+2$ ;

3. El espacio simétrico excepcional de 70 dimensiones $\mathrm{E}_7/(\mathrm{SU}_8/(\mathbb{Z}/2))$ .

Los espacios simétricos hermitianos son, por supuesto, variedades complejas, y los grassmannianos reales con estructuras casi complejas fueron clasificados por P. Sankaran (PAMS, 1991) y Z. Tang (PAMS, 1994). De ahí mi pregunta:

D $\mathrm{E}_7/(\mathrm{SU}_8/(\mathbb{Z}/2))$ llevar una estructura casi compleja?

Obsérvese que en la dimensión $4k$ se sabe que un espacio simétrico interno irreducible simplemente conectado de tipo compacto lleva una estructura casi compleja si es simétrico hermitiano.

Edición relativa a las dimensiones múltiplo de 4: Es a propósito que no mencioné nuestro papel http://fr.arxiv.org/abs/1003.5172 cuando hice la pregunta por primera vez. De hecho, el método utilizado en ese documento para tratar la $4k$ -(un obstáculo teórico-índice) parece ineficaz en la situación $4k+2$ -dimensionales, por lo que esperaba otros métodos para abordar este problema.

No obstante, permítanme explicar brevemente cómo funcionan las cosas en su dimensión $4k$ . La idea es utilizar el siguiente criterio:

Si una variedad riemanniana compacta $(M,g)$ c vectorial $E$ s operador trenzado de Dirac en $\Sigma M \otimes E\otimes > TM^{\mathbb{C}}$ es impar, entonces $M$ tiene ninguna estructura casi compleja (de hecho $TM$ ni siquiera es establemente isomorfo a un haz complejo).

Obsérvese que el haz de espín complejo $\Sigma M$ et $E$ pueden definirse localmente, sólo su producto tensorial tiene que definirse globalmente. A continuación se comprueba que este criterio se aplica a todos los espacios simétricos interiores irreducibles de tipo compacto que no son ni simétricos hermitianos ni esferas.

Volver a las dimensiones $4k+2$ es fácil comprobar que existe a priori ningún haz que satisfaga el criterio anterior. No obstante, se puede demostrar que los grassmannianos reales y $\mathrm{E}_7/(\mathrm{SU}_8/(\mathbb{Z}/2))$ llevar tal fardo $E$ que satisface todas las condiciones del criterio excepto que no es autodual. No sé si esto puede llevar a alguna parte...

Answer 1

Lo siento si esto es obvio para todos, pero pensé que valía la pena mencionarlo:

No conozco la respuesta a la pregunta formulada, pero sí la respuesta a la pregunta más fácil, "¿El espacio $\mathrm{E}_7/(\mathrm{SU}_8/(\mathbb{Z}/2))$ llevar un $\mathrm{E}_7$ -estructura casi compleja invariante?", es "no".

Para ver esto, considere el complemento ortogonal de la subálgebra $\mathfrak{su}(8)$ en $\mathfrak{e}_7$ , digamos $V = \mathfrak{su}(8)^\perp$ . Inspeccionando el diagrama raíz de $\mathfrak{e}_7$ (tal como se describe en la representación de Cartan, no la habitual que se ve en la mayoría de los libros), se ve que este espacio vectorial real de dimensión $70$ tiene la propiedad de que su complejación es la representación compleja irreducible $\Lambda^4(\mathbb{C}^8)$ de $\mathrm{SU}(8)$ . Dado que la complejificación de $V$ es irreducible bajo $\mathrm{SU}(8)$ la acción de $\mathrm{SU}(8)$ no conserva ninguna estructura compleja en $V$ .

Así, el espacio $\mathrm{E}_7/(\mathrm{SU}_8/(\mathbb{Z}/2))$ no tiene un $\mathrm{E}_7$ -estructura casi compleja invariante.

Answer 2

Lo que sigue es en su mayor parte falso, basado en mi lectura excesivamente rápida y en una interpretación errónea de la pregunta:

No. $E_7 / (SU(8)/\mu_2)$ (donde $E_7$ denota aquí el grupo de Lie real compacto) no es un espacio simétrico hermitiano. Se puede decir, porque no hay ningún toro (copia de $U(1)$ ) en el centro de $SU(8)$ (quizá Helgasson o Wolf sean una buena referencia en este sentido).

El siguiente comentario no es aplicable, ya que el colector tiene dimensión $4k+2$ y no $4k$

Por lo tanto, según Gauduchon, Moroianu, Semmelmann (Inventiones Math., 2010), como usted parece saber, este espacio simétrico interior excepcional no lleva ninguna estructura casi compleja.

Lo siguiente es correcto:

No tengo ni idea de cómo responder a esta pregunta.