Sea $p$ sea un primo y $H=\prod_{n=1}^{\infty}\mathbb Z(p^{n})$ ( $\mathbb Z(p^{n})$ es el grupo cíclico finito de orden $p^{n}$ ). Es $H/t(H)$ divisible ( $t(H)$ denota el subgrupo de torsión máximo de $H$ )?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
En $(1,1,1,\cdots)$ tener un $p$ ¿la raíz del módulo de torsión?
Si es así, tenemos $(1,1,1,\cdots)+(a_1p^{e_1},a_2p^{e_2},a_3p^{e_3},\cdots)=p(b_1,b_2,b_3,\cdots)$ para varias opciones de números enteros $a_i,e_i,b_i$ (elegido así $a_i$ son todos primos de $p$ ). La condición de torsión implica $p\mid p^{e_{\large i}}$ eventualmente, en cuyo caso $1+a_ip^{e_i}=pb_i$ produce inmediatamente una contradicción al reducir mod $p$ .
Sin embargo, es evidente que $q$ -divisible para cada primo $q\ne p$ . En particular, es un ${\bf Z}_{(p)}$ -módulo, donde ${\bf Z}_{(p)}$ denota el localización de $\bf Z$ en $(p)$ . Esto quizás se vea más fácilmente ampliando la interpretación del grupo original para que sea un anillo producto, y considerando los mapas ${\bf Z}_{(p)}\to {\bf Z}_{(p)}/p^n{\bf Z}_{(p)}\cong {\bf Z}/p^n{\bf Z}$ .
