Demostrar una relación para una curva plana suave y asintótica, en parametrización de longitud de arco.

Question

Dada una curva plana suave, parametrizada en longitud de arco como $\alpha(s) \equiv (x(s),y(s))$ y dado que $$\lim_{s \to \infty} \frac{y(s)}{s} = k,$$ $k$ una constante, y $$\lim_{s \to \infty}x(s) = 0,$$ Me gustaría recibir ayuda para demostrarlo (si es posible)

$$\lim_{s \to \infty} \frac{dx}{dy} = 0.$$

Answer 1

Contraejemplo (no parametrizado por la longitud del arco): $$ \alpha(t)=\Bigl(\frac{\sin(t^2)}{t},t\Bigr). $$