Supongamos que me han dado un ideal $I$ de un anillo conmutativo $R$ y no sé la descomposición primaria de $I$ . ¿Cómo puedo encontrar los primos asociados de $R/I$ ? Por favor, si es posible, denme algún enfoque. Más concretamente, he estado tratando de encontrar $Ass(R/I)$ en los casos en que (i) $R=k[X,Y]$ y $I=(X^2,XY)$ y (ii) $R=k[X,Y,Z]$ y $I=(X,Y)(X,Z)$ . En ambos casos, conozco realmente la descomposición primaria de $I$ (es $(X,Y)^2\cap (X)$ en (i) y $(X,Y)\cap (X,Z)\cap (X,Y,Z)^2$ en (ii)) y por lo tanto puedo encontrar que los primos asociados son $(X,Y)$ y $(X)$ en (i) y ( $X,Y),(X,Z)$ y $(X,Y,Z)$ en (ii). Pero suponiendo que no se conozca la descomposición primaria, ¿cómo puedo encontrar los primos asociados en estos dos problemas? Cualquier planteamiento será bienvenido.
Respuesta
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Puedes encontrarlos si conoces la resolución del ideal. Se trata del teorema 8.3.2 del libro "Computational Algebraic Geomtry" de Hal Schenck (véase aquí )
Sea $M$ sea un módulo graduado finitamente generado sobre un anillo polinómico $R$ y $P$ un primo de codimensión $c$ . Entonces $P \in Ass(M) \Leftrightarrow P \in Ass(Ext^c(M,R))$ .
Ahora todo lo que necesitas saber para calcular los grupos Ext es la resolución del ideal.
En el caso $I=(xy,x^2)$ la resolución es fácil: $$ 0 \to R(-3) \xrightarrow{(-y, x)} R(-2)^2 \xrightarrow{(x², xy)^t} R \to R/I \to 0. $$ Por lo tanto Ext es la homología de $$ 0 \to R \xrightarrow{(xy, x^2)} R(2)^2 \xrightarrow{(x,-y)} R(3) \to 0 $$
El mapa de la izquierda es inyectivo, por lo que $Ext^0(M,R)=0$ . El mapa central tiene núcleo $im([y,x])$ y la imagen del mapa de la izquierda hace $Ext^1(M,R)=R(1)/\langle x \rangle$ .
Así pues, los primos asociados en codimensión $1$ es precisamente $\langle x \rangle$ .
Calculamos $Ext^2(M,R)$ ser $R(3)/(x,y)$ y el primo asociado es $\langle x,y \rangle$ ¡tal como lo descubriste! f En conclusión, ¡la respuesta es sí!
