Equivalencia lógica para $p \lor q$

Question

Tengo que demostrar que

$$p \vee q \equiv (p\wedge q) \vee (\neg p\wedge q) \vee (p\wedge \neg q)$$

Basándome en la tabla de verdad, son equivalentes, pero no he podido averiguar cómo utilizar enunciados lógicos para demostrar que son equivalentes. Lo he intentado de muchas maneras pero todas resultan raras.

$(p\wedge q) \vee (\neg p\wedge q) \vee (p\wedge \neg q)$

$\equiv (p\wedge q) \vee ((\neg p\wedge q)\vee p) \wedge ((\neg p\wedge q)\vee \neg q)$

$\equiv (p\wedge q) \vee ((T \wedge (q\vee p)) \wedge (T\wedge \neg(p \wedge q))$

$\equiv (p\wedge q) \vee (q\vee p) \wedge \neg(p \wedge q)$

A partir de este punto no he podido entender qué se supone que debo hacer. ¿He hecho algo mal? Gracias

Answer 1

Utilizando las equivalencias lógicas básicas enumeradas aquí se puede demostrar fácilmente que $p \lor q$ es equivalente a $(p∧q)∨(¬p∧q)∨(p∧¬q)$ .

\begin{align} & \quad \ (p∧q)∨(¬p∧q)∨(p∧¬q) \\ \text{(commutativity)}\quad &\equiv (p \land q) \lor (p \land\lnot q) \lor (\lnot p \land q) \\ \text{(distributivity of $\land$ over $\lor$)} \quad & \equiv (p \land (q \lor \lnot q)) \lor (\lnot p \land q) \\ \text{(negation law)} \quad &\equiv (p \land \top) \lor (\lnot p \land q) \\ \text{(identity law)} \quad &\equiv p \lor (\lnot p \land q) \\ \text{(distributivity of $\lor$ over $\land$)}\quad &\equiv (p \lor \lnot p) \land (p \lor q) \\ \text{(negation law)}\quad &\equiv \top \land (p \lor q) \\ \text{(identity law)}\quad &\equiv p \lor q \end{align} donde $\top$ es sinónimo de tautología es decir, una fórmula que siempre es verdadera. En las dos primeras líneas, el uso de la ley de asociatividad queda implícito.

Answer 2

Para demostrar $p \vee q \equiv (p\wedge q) \vee (\neg p\wedge q) \vee (p\wedge \neg q)$ Empecemos por el lado derecho de la siguiente manera.

$(p\wedge q) \vee (\neg p\wedge q) \vee (p\wedge \neg q)$

$\equiv q \wedge (p\vee \neg p) \vee (p\wedge \neg q)$

$\equiv (q \wedge \text{T}) \vee (p\wedge \neg q)$

$\equiv q \vee (p\wedge \neg q)$

$\equiv (q \vee p)\wedge(q\vee \neg q)$

$\equiv (q \vee p)\wedge \text{T}$

$\equiv (q \vee p)$

Q.E.D.

Answer 3

Para una mejor legibilidad utilizo $+$ por "o", $\cdot$ para "y" y $()'$ para la negación.

Por lo tanto, usted tiene \begin{eqnarray*} pq + p'q+pq' & = & (p+p')q+pq' \\ & = & q + pq' \\ & \stackrel{DeMorgan}{=} & (q'(p'+q))' \\ & \stackrel{qq' = F}{=} & (q'p')' \\ & = & p+q \end{eqnarray*}