Para cualquier $n$, hay un primer factor de $2^n-1$ que no es un factor de $2^m-1$$m < n$?

Question

Se garantiza que habrá un poco de $p$ tal que $p\mid2^n-1$ pero $p\nmid 2^m-1$ cualquier $m<n$?

En otras palabras, ¿cada una de las $2^x-1$ introducir un nuevo factor principal?

Answer 1

Sí, es cierto que (a excepción de $2^6-1=7\times 9$).

Esto se conoce como la Explosión del teorema, y es un corolario de Zsigmondy del Teorema.

Usted puede encontrar una prueba aquí (Teorema 3).

Answer 2

Este resultado es debido a Zsigmondy (1892), con casos especiales $(b=1)$ (re)descubierto por Bang (1886), Birkhoff Y Vandiver (1904) ... ver Ribenboim, El Nuevo Libro de Primer Número de Registros, p. 43, 67-68, 338, 437. Vandiver, un prolífico investigador en FLT = Último Teorema de Fermat, se aplica para el primer caso de FLT y relacionados con diophantine ecuaciones, por ejemplo, ver Ribenboim del libro 13 Conferencias sobre el Último Teorema de Fermat, páginas 52,161,206,234,236.

Tales resultados tienen muchas aplicaciones: una búsqueda en MathSciNet En cualquier lugar=(Zsigmondy o (Birkhoff y Vandiver)) encontrará más de 35 relacionadas con las Matemáticas Comentarios. Schinzel (1974, SEÑOR 93k:11107) extendió el teorema arbitraria algebraica de los campos de número de $K$:

Si $a$ $b$ son algebraica de los números enteros en $K,\,$ $(a,b)=1,\,$ y $a/b$ es de grado $d$ y no es una raíz de la unidad, entonces existe $\,n_0 = n_0(d)\,$ tal que para todos los $n > n_0,\,\ a^n - b^n\, $ tiene un primer ideal del factor $P$ no dividiendo $\,a^m - b^m\, $ todos los $ m < n$.

Más tarde (1993, el mismo SEÑOR) ", generaliza esto para mostrar que cada algebraica de números, que no es una raíz de la unidad satisface sólo una número finito de independiente generalizada cyclotomic ecuaciones considerado por el revisor [en las propiedades Estructurales de polylogarithms, Capítulo 11, ver pág. 236, Amer. De matemáticas. Soc., Providence, RI, 1991; véase MR 93b:11158]".

También hay elíptica y el polinomio de generalizaciones.

Answer 3

No. $2^6-1 = 3^2 \cdot 7$. Pero tenemos que $3|2^2-1$ $7|2^3-1$