Editado el 27/12 para intentar aclarar, y corregir el formato de la expresión regular (se necesita \* para que * no se convierta en cursiva).
En cierto nivel es obvio que el conjunto de secuencias espejo se caracteriza por la lista de subcadenas finitas que nunca pueden ocurrir, si se permite que las listas sean infinitas, y si se cuenta el cierre del conjunto de trayectorias espejo como trayectorias espejo. (Podría haber cuestiones sutiles de lo que sucede cuando un rayo de luz golpea exactamente en el borde de un espejo: en este caso, si permites ambos resultados que son los límites de su perturbación, da un conjunto cerrado). Pero no creo que te refieras a esto. Me recuerda a tener que usar una palabra como "industrioso" en una frase en 2º de primaria. A mi profesora no le gustaban mis frases, "'industrioso' es una palabra."
Quizá una formulación mejor de la cuestión sea preguntar si el conjunto de secuencias de espejos es un lenguaje regular y, en caso afirmativo, describirlo. Para algunos casos presumiblemente más fáciles, el conjunto de disposiciones de espejos puede especializarse para que abarque algún subconjunto concreto, como los espejos paralelos, o los espejos todos en ángulos de la forma $k \pi / n$ para algunos $n$ .
Así, para dos espejos a y b, el lenguaje es b?(ab)*a?, interpretado con la convención habitual de expresiones regulares, donde ? significa 0 o 1 ocurrencia del término precedente y * significa 0 o más ocurrencias. Esto equivale a not(.*aa.*) y not(.*bb.*), donde . coincide con cualquier símbolo.
Para tres espejos paralelos, puedes tener una secuencia como (ab)+(cb)+(ab)+, donde + denota 1 o más apariciones del término anterior, pero esta secuencia implica que c está intercalada entre a y b, por lo que no puedes tener más c después de eso. No voy a intentar escribir una expresión regular completa, pero
Reclamación: Para cualquier número de espejos paralelos, el conjunto de secuencias posibles (ya que las posiciones de los espejos y el haz inicial son variables) es un lenguaje regular. Además, el número de secuencias posibles de longitud $n$ crece sólo como un polinomio en $n.
Prueba: Se puede suponer que el rayo viene de la izquierda y está orientado hacia arriba. (Los casos de que sea vertical u horizontal son triviales).
Para hacer un autómata de estados finitos (FSA) que reconozca secuencias de espejos válidas, primero hay que hacer un autómata de estados finitos no determinista (NDFSA) cuyos estados sean las posibles disposiciones de los espejos y la posición actual del haz en relación con ellos: los datos relevantes son el orden lineal horizontal, la cuestión de si el haz va hacia la izquierda o hacia la derecha, y el orden parcial vertical de las partes superior e inferior de los espejos y del haz, donde el orden parcial $x < y$ en puntos del plano es si $y$ está en el cono delimitado por los haces en $x$ en el ángulo del haz y su imagen especular. Cada vez que el rayo choca con un espejo, el punto donde choca tiene una de un número finito de posiciones en el nuevo orden parcial, insertando el nuevo punto y eliminando la posición anterior del rayo; esto da un NDFSA. El FSA (determinista) tiene estados que son conjuntos de estados del NDFSA, y la transición lleva un conjunto de estados al conjunto de todos los estados posibles obtenidos por una transición NDFSA a partir de uno de ellos.
Probablemente existan buenos métodos para poner esto en práctica. En lugar de un conjunto de podemos llevar la cuenta de un conjunto parcialmente ordenado de espejos que hemos visto; cada nuevo par de letras xy nos dice o bien que x < y o bien que x > y. Una letra puede aparecer sólo en posiciones Impares, o sólo en posiciones pares --- cuando los espejos están paralelos, es imposible que el rayo se refleje desde el frente, luego dé la vuelta al otro lado y golpee la parte de atrás. Siempre que veamos algo como yx[^y]*xy, donde [^y] significa un carácter que no es y, implica que los espejos distintos de x en la subcadena [^y]* están intercalados entre x e y, y el haz ha pasado por encima de ellos: no pueden volver a producirse.
Tal vez puedas ver o intuir por la forma en que evoluciona el modelo de espejo de estado finito que es imposible obtener recurrencia de ramificación, por lo que el número de secuencias crece sólo como un polinomio. En lugar de tratar de hacer esto preciso, hay una prueba fehaciente para este último punto: pasar a una superficie obtenida tomando dos copias del plano, cortando rendijas donde están los espejos, y pegándolas a lo largo de las rendijas de modo que los rayos de luz sigan geodésicas en la superficie resultante (con puntos excepcionales donde las trayectorias se bifurcan en los extremos de los espejos.) Las trayectorias se convierten ahora en curvas simples sobre la superficie resultante, que genéricamente salen hacia el punto en el infinito en ambos extremos. Se sabe que el conjunto de todas las clases homotópicas de curvas simples sobre cualquier superficie crece como un polinomio de grado 6g-6, donde $g$ es el "género" o número de agujeros de la superficie, ya que las curvas cerradas simples son puntos de enrejado en el espacio de laminaciones medidas de una superficie.
La misma demostración funciona cuando los espejos se limitan a ángulos de la forma $2\pi/n$ , donde se toma $2n$ copias del plano, una por cada imagen reflejada del plano, mod traslaciones. Véase " Un flujo de billar racional es únicamente ergódico en casi todas las direcciones" de Kerckhoff, Masur y Smillie para un uso magistral de esta técnica de paso a una superficie obtenida por encolado de múltiples copias.
Aunque el número de secuencias espejo tiene un crecimiento polinómico en el caso de los espejos en ángulos $\pi/n$ Sin embargo, incluso cuando $n= 2$ es decir para espejos verticales u horizontales, las secuencias de espejos no son un lenguaje regular. El clásico caso especial de una mesa de billar rectangular lo ilustra: para un rectángulo se pueden pegar cuatro copias para obtener un toroide, en el que las trayectorias se convierten en líneas de pendiente constante. Estas secuencias han sido muy estudiadas, por ejemplo en infografía, donde dan secuencias de píxeles utilizadas para representar una línea recta delgada. Tienen una caracterización recursiva simple (esencialmente el algoritmo euclidiano), pero no están determinadas por una máquina de estados finitos. Para una disposición arbitraria de cuatro espejos, las secuencias más ricas son las que proceden de la mesa de billar --- de lo contrario, las secuencias de espejos degeneran a un caso de 2 ó 3 espejos paralelos al principio y/o al final. Por lo tanto, no existe un conjunto finito de secuencias excluidas para este caso.
En el caso de acuerdos menos restringidos, las condiciones serán cada vez más complicadas.
En el caso general, hay algunas restricciones que tienen que ver con las desigualdades que se pueden deducir sobre los ángulos de los espejos.
En primer lugar, si existe una secuencia de longitud $n$ alternando entre dos espejos x e y, implica que uno de los dos ángulos entre los dos espejos es menor que $\pi/(n-1)$ . Puedes verlo empezando con espejos que forman un ángulo $\alpha$ y reflejándolo alrededor. Un rayo de luz que choca contra un espejo $x$ se desarrolla como una línea recta que cruza este patrón, por lo que si cruza $k$ bordes, el $k-1$ ángulos entre ellos no pueden sumar más de $\pi$ .
Utilizando esto, para una secuencia suficientemente complicada que implique sólo 3 letras, se obtienen desigualdades relativas a los tres ángulos del triángulo formado al extender los espejos.
No sé si existe un buen algoritmo general para decidir si una secuencia es una secuencia espejo. Sospecho que debería haber un algoritmo que en la práctica sea bastante eficiente, generalizando la idea del caso de espejos paralelos para describir desigualdades geométricas cada vez más restrictivas sobre la disposición de los espejos, quizás como primera aproximación utilizando desigualdades en coma flotante.
Sospecho que el número de secuencias de espejos probablemente tiene un crecimiento polinómico incluso en el caso general cuando no se imponen condiciones sobre los ángulos de los espejos, pero no he pensado en una prueba. Si hay $m$ espejos, entonces cuando los ángulos se restringen a tienen la forma $\pi k / n$ la superficie de cobertura donde las trayectorias son arcos propios simples (que tienden a infinito en ambos extremos) tiene característica de Euler $-2 n ( m-1)$ . La dimensión del espacio de laminaciones geodésicas medidas en la superficie de recubrimiento crece linealmente con $n$ pero las trayectorias de la luz son curvas integrales de una diferencial cuadrática que tiene una propiedad de equivocidad con respecto a las transformaciones de la cubierta, lo que limita su dimensión. La dimensión del espacio de moduli de arreglos de espejos con cualquier ángulo constante dado depende sólo del número de espejos: podemos normalizar el primer espejo para que sea el intervalo unitario en el $x$ -y, a continuación, cada espejo adicional tiene 3 grados de libertad (cuando su ángulo es fijo), por lo que la dimensión es $3m-3$ . Esto debería igualar el grado del crecimiento polinómico para secuencias espejo con tales espejos. Sin embargo, como las secuencias espejo no están determinadas por un FSA, el número de secuencias espejo válidas probablemente no sea el conjunto de valores de un polinomio real excepto cuando los espejos son paralelos, por lo que se necesitarían estimaciones del comportamiento inicial o constantes particulares para concluir que el límite tiene crecimiento polinómico.
Una cuestión más débil es si el mapa de desplazamiento en secuencias espejo tiene entropía topológica 0 (es decir, puede recodificarse en una secuencia con tasa de bits 0). Creo que esto se deduce. Si añadimos la información adicional de los ángulos de los espejos al sistema dinámico (por lo general, esto es probablemente redundante de todos modos), entonces cada conjunto particular de ángulos define un subconjunto invariante cerrado. El ángulo del rayo en cualquier momento está en el subgrupo de $S^1$ generado por los ángulos de los espejos, que es un grupo abeliano de rango como máximo $m$ . Existe una superficie de recubrimiento de lámina infinita en la que las trayectorias se simplifican, y puede considerarse que la superficie de recubrimiento está incrustada equitativamente en $\mathbb R^m$ (siempre que $m \ge 3$ ; para $m = 3, que sea una inmersión si es difícil obtener una incrustación). Esta configuración parece implicar que la entropía topológica es 0. Quizás algún experto pueda confirmarlo o desmentirlo.
Creo que probablemente valdría la pena ampliar la notación para distinguir entre golpear la parte delantera y trasera de un espejo determinado, quizás utilizando mayúsculas, x frente a X.
