¿Interpretación correcta de por qué rank(A^T) = rank(A)?

Question

He visto diferentes explicaciones intuitivas sobre las matemáticas SE, pero ninguna de ellas me ha encajado realmente. He juntado piezas de las explicaciones que he visto y he llegado a algo que me parece que tiene más sentido para mí. ¿Es la siguiente una interpretación correcta de por qué $rank(A^T) = rank(A)$ ?

Explicación: Supongamos que $A \in \mathbb{R}^{n\times m}$ tiene rango $k$ . Esto significa que la imagen de $A$ es una transformación lineal $k$ subespacio dimensional de $\mathbb{R}^n$ . $A^T$ debe entonces tomar esta $k$ a un subespacio de $\mathbb{R}^m$ que es de dimensión como máximo $k$ . Esto significa que $$rank(A^T) \leq k = rank(A).$$ A continuación, podemos aplicar el mismo resultado a partir de $A^T$ para que $rank((A^T)^T) \leq rank(A^T)$ lo que significa que $rank(A) \leq rank(A^T)$ . En conjunto, tenemos $rank(A) = rank(A^T)$ .

Pregunta : ¿Tiene sentido? ¿Qué tendría que hacer para que fuera más riguroso?

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Edita: Con la ayuda de @Pawe Czy y un poco más de investigación, este es mi argumento actualizado.

Si $A^TAx = 0$ entonces $x^TA^TAx = ||Ax||^2 = 0$ lo que significa que $Ax = 0$ (por propiedades de las normas). Esto demuestra que $N(A) = N(A^TA)$ . Porque $A^TA$ y $A$ tienen la misma dimensión de entrada, el teorema de rango-nulidad nos dice que $rank(A) = rank(A^TA)$ . Esto completa el argumento porque entonces tenemos $rank(A^T) = rank((A^TA)^T) = rank(A)$ .

Answer 1

Considere un mapa $A\colon \mathbb R^m\to \mathbb R^n$ . Su rango es simplemente $\mathrm{rk}\, A = \dim(\mathrm{im}\, A)$ . El mapa de transposición es el único mapa $A^T\colon \mathbb R^n\to \mathbb R^m$ tal que $$\langle A^Tb, a \rangle_m = \langle b, Aa \rangle_n \quad \text{for all}\; a\in \mathbb R^m,b\in\mathbb R^n.$$

Su argumento sólo demuestra que $\mathrm{rk}\, A^TA \le \mathrm{rk}\, A$ . De hecho, se puede deducir la igualdad utilizando el teorema de la nulidad de rango y un simple lema $\ker A^TA = \ker A$ . (Esto se deduce fácilmente de $\langle A^TA v, v\rangle = |Av|^2$ ).

Con el teorema de rango-nulidad también se puede demostrar que $\mathrm{rk}\, A = \mathrm{rk}\, A^T$ - sólo hay que aplicarlo a la igualdad $\ker A^T = (\mathrm{im}\, A)^\perp$ que es trivial a partir de la definición de transposición dada anteriormente.