En la escuela, nos enteramos de que el pecado es "opuesto sobre hipotenusa" y cos es "adyacente sobre la hipotenusa".
Más tarde, nos enteramos de que el poder de la serie de definiciones del pecado y de la cos.
¿Cómo se puede demostrar que estas dos definiciones son equivalentes?
Si te permites un poco de cálculo ( "$\sin x / x \to 1$ ""$x \to 0$ " ) y aplicar algunos combinatoria, hay una muy bonita interpretación geométrica de los términos de potencia de la serie de las funciones. Considere el diagrama y la poligonal de "espiral" que empieza a $P_0$ y cierra en el punto de $P$ (donde $|P_0 P| = 1$).
Los segmentos horizontales $P_{2n} P_{2n+1}$ alternativamente sobreimpulso y situarse por debajo de la longitud del coseno segmento; los segmentos verticales $P_{2n+1} P_{2n+2}$ hacer lo mismo por el seno del segmento. Así,
$\cos \theta = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n | P_{2n} P_{2n+1} |$
$\sin \theta = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n | P_{2n+1} P_{2n+2} |$
Ahora, las longitudes $|P_{k} P_{k+1}|$ son iguales a las longitudes de las curvas de $|I_k|$, que constituyen una serie de sucesivas involuciona (con $I_0$ define un segmento, y $I_1$ definida para ser un arco del círculo unitario). La combinatoria y el cálculo del resultado que se menciona muestran que la evolvente longitudes de satisfacer ...
$|I_k| = \theta^k / k!$
... para que los de arriba son, de hecho, el poder de la serie.
Curiosamente, la misma cosa se puede hacer con la secante y la tangente, el uso de una evolvente zig-zag:
donde
$\sec \theta = \sum_{n=0}^{\infty} | P_{2n} P_{2n+1} | = \sum_{n=0}^{\infty} | I_{2n} |$
$\tan \theta = \sum_{n=0}^{\infty} | P_{2n+1} P_{2n+2} | = \sum_{n=0}^{\infty} | I_{2n+1} |$
y las longitudes $|I_k|$ va a ser la adecuada múltiplos de potencias de $\theta^k$.
De referencia para el argumento del seno y del coseno (atribuido a Y. S. Chaikovsky, según lo informado por Leo Gurin), una discusión completa de el complicado argumento de la secante y la tangente y, a continuación, un refinamiento del argumento para el seno y el coseno, son en mi nota "Zig-Zag Involuciona, Arriba-Abajo, Permutaciones, y la Secante y la Tangente" (PDF).
BTW: tengo (todavía) no se resolvieran el caso de la cosecante y la cotangente.
La mayoría de las pruebas en la escuela primaria cálculo de los libros de texto utilice la definición de la $\sin x$ a través de la geometría, para demostrar que la derivada de $\sin x$ $\cos x$ (es decir, el hecho de que $\lim_{x \to 0} \frac{ \sin x}{x} = 1$). En consecuencia, se deduce que el $\sin x$ $\cos x$ son las dos soluciones linealmente independientes de a $y'' = -y$. El poder de la serie de ecuaciones también son dos soluciones linealmente independientes de esta ecuación diferencial. Por otra parte, $\sin x$ y su derivada coincide con la derivada de la potencia de la serie para $ \sin x$ a cero (no es de extrañar, es una serie de Taylor). Mismo para $\cos x$. Por la unicidad de soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias, esto demuestra que $\sin x$ $\cos x$ como se define en la escuela es igual a su potencia de la serie. (Esta es una expansión de Qiaochu comentario.)
Para ello rigurosamente tiene prácticamente ninguna opción en cuanto a la lógica de la prueba.
La primera definición de constructos (sin,cos) como un par de funciones en el círculo unitario X^2 + Y^2 = 1. Las funciones son sólo y y X respectivamente.
La segunda definición construcciones otra pareja (sin,Cos), de funciones en la recta real. Las funciones son específicas de alimentación de la serie.
Para demostrar que estos pares son "iguales" tiene un significado único: para la construcción de algunos de los locales de la identificación de los dos espacios (localmente invertible parametrización del círculo por la línea, y viceversa, es decir, cubrir con un mapa) que en virtud de esta identificación (sin,cos) corresponde a (sin,Cos).
Esta identificación es único: la rotación invariable medida del ángulo en el plano (Haar medida en SO(2,R) en la convencional, la normalización de tener la longitud total 2*Pi). Si la medida del ángulo que ya está disponible por otros medios, tales como la medición de la longitud en el círculo, uno obtiene una segunda construcción de (sin,cos) a través de sus funciones inversas (el uso de las integrales) y entonces se ha de comprobar que arcsen^{-1} = Pecado donde la función de la izquierda es una integral y el derecho es una potencia de la serie.
De lo contrario, sólo tenemos el mapa en una dirección, (Cos(t),sin(t)) de la línea del círculo usando el poder de la serie, y uno tiene que comprobar que Cos^2(t) + Sen^2(t) = 1 y el local invertibility (distinto de cero en todas partes el vector de velocidad) del mapa. Esto permitiría definir la medida de ángulos en el círculo de la "t", es decir, el inverso de la potencia de la serie parametrización del círculo por la línea.
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