Función integrable de Riemann; aproximación mediante funciones escalonadas

Question

A partir de la definición de una función integrable de Riemann $f : [a,b] \to \mathbb R$ se deduce que existen secuencias de funciones escalonadas $\varphi_k$ y $\varphi^k$ con $\varphi_k \leq f \leq \varphi^k$ tal que $\int f dx = \lim_k \int \varphi_k dx = \lim_k \int \varphi^k dx$ .

Mi pregunta: ¿Puede $\varphi_k$ y $\varphi^k$ para que converja puntualmente a $f$ ?

Answer 1

Contraejemplo: la función característica del conjunto de Cantor. Piense en lo que ocurre en $x=0$ por ejemplo.