Área del cuadrilátero mediante determinante/producto cruzado

Question

Consideremos un cuadrilátero cuyos lados vienen dados por los vectores $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ y $\vec{d}$ tal que $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}=0$ .

Me han dicho que el área del cuadrilátero se puede calcular mediante la mitad del determinante de la matriz cuyas columnas vienen dadas por las diagonales del cuadrilátero.

¿Por qué?

Mi primera aproximación consistió en utilizar el producto cruz para hallar el área del paralelogramo atravesado por dos lados del cuadrilátero, pero esto no parecía aportar nada significativo.

Answer 1

Consideremos un cuadrilátero arbitrario.

Mueve dos vértices paralelamente a una diagonal, de modo que dos lados queden alineados con la otra diagonal. Esta transformación no cambia el área.

A continuación, mueve un vértice para que uno de sus lados quede alineado con la primera diagonal. Esta transformación también preserva el área.

El área es la de un triángulo, la mitad del producto cruzado de los vectores diagonales.

Answer 2

Para paralelogramos:

Suponiendo que $\vec a$ y $\vec b$ son los 2 vectores no paralelos del paralelogramo, entonces las diagonales de este paralelogramo son $\vec a +\vec b$ y $\vec a - \vec b$

Ahora aplicando el producto cruzado se obtiene $||(\vec a +\vec b) × (\vec a -\vec b)||=2||(\vec a ×\vec b)||=2A$

( $A=$ área del paralelogramo).

Para el caso general:

Consideremos el cuadrilátero $ABCD$ de centro $O$ (la intersección de las diagonales) y considere el paralelogramo formado trazando 2 rectas paralelas a $(AC)$ uno que pasa por $D$ y el otro a través de $B$ y también otras 2 líneas paralelas a $(BD)$ uno que pasa por $A$ y el otro a través de $C$ . Sea este paralelogramo $A'B'C'D'$ (por ejemplo nombrar el vértice que está a la derecha de $A$ por $A'$ y el vértice derecho a $B$ por $B'$ etc.).

Ahora el determinante del producto cruz de las diagonales del cuadrilátero te da el área de este paralelogramo ( $||\vec {AC} ×\vec {BD}||=||\vec {A'B'} ×\vec {A'D'}||= A_{A'B'C'D'}$ ), pero también se puede demostrar fácilmente que los triángulos $AA'B$ y $AOB$ son congruentes (lo que significa que tienen la misma área), y también los triángulos $BB'C$ y $BOC$ también son congruentes y así sucesivamente, esto significa que el área de $A'B'C'D'$ es justo el doble del área del cuadrilátero $ABCD$ y este es el resultado que queremos.

$$A_{ABCD}=\frac{A_{A'B'C'D'}}{2}=\frac{||\vec {AC} ×\vec {BD}||}{2}$$

Answer 3

Consideremos el plano incrustado en el espacio 3-diomensional, de modo que podamos utilizar el producto vectorial.

Área de un triángulo de lados $\vec{a}$ , $\vec{b}$ y $\vec{c}$ ( $\vec a+\vec b+\vec c= 0$ ) viene dada por $$S_\triangle = \frac12|\vec a||\vec b|\sin (\angle ab) = \frac12|\vec a \times \vec b|$$ Observa que puedes dividir el cuadrilátero en dos triángulos, uno con lados $\vec a, \vec b, \vec c+\vec d$ y el otro con lados $\vec a+\vec b, \vec c, \vec d$ ( $\vec a+\vec b = -\vec c-\vec d$ ). Tenemos

$$S_1 = \frac12|(\vec c+ \vec d) \times \vec a|$$ $$S_2 = \frac12|\vec d \times (\vec a+\vec b)|= \frac12|(\vec c +\vec d) \times \vec d|$$ La superficie total es de $$S = \frac12 |(\vec c+ \vec d) \times (\vec d+\vec a)|$$ . Tenga en cuenta que $\vec c+\vec d$ y $\vec d+\vec a$ son las dos diagonales, y se tiene $$|\vec v\times w| = |{\rm det}[\vec v, \vec w]|$$