Por qué $\frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dx}+\frac{\partial f}{\partial x}\frac{dy}{dx}=0$ ?

Question

Estoy leyendo un libro de texto y tengo dificultades con un paso. Tenemos una curva $f(x,y)=0$ y dice que en todas partes de esta curva es cierto que

$$\frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dx}+\frac{\partial f}{\partial x}\frac{dy}{dx}=0$$

¿Cómo sé que esto es cierto? ¿Hay alguna intuición gráfica detrás de ello?

Answer 1

intuición
El vector $$ \mathbf n = \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}\right) , $$ el gradiente de $f$ la dirección en la que $f$ aumenta más rápidamente, es:

normal a la curva $f(x,y) = 0$ .

Por otra parte, el vector $$ \mathbf t = \left(\frac{dx}{dx},\frac{dy}{dx}\right) $$ es

tangente a la curva $f(x,y)=0$ ,

donde lo parametrizamos por $x$ .

Por último, la normal y la tangente son ortogonales entre sí, por lo que su producto punto es cero: $$ \frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dx}+\frac{\partial f}{\partial x}\frac{dy}{dx}=0 $$

Answer 2

$\partial f/\partial x$ es lo rápido $f$ cambia con respecto a $x$ cuando $y$ está arreglado. Si $dx$ es un cambio infinitamente pequeño en $x,$ entonces $(\partial f/\partial x)\,dx$ es el cambio correspondiente en $f.$ Del mismo modo para $(\partial f/\partial y)\,dy.$ Si ambos $x$ y $y$ están cambiando, entonces esos dos componentes se suman para obtener $df.$