Cálculo de una integral definida con límite complejo - verificación de la prueba

Question

Calcula: $\int_{\pi/2}^{\pi/2+i}\cos(2z)dz$

Mi solución:

$\cos(2z)$ es analítica en todo $\mathbb{C}$ y por lo tanto la integral definida es independiente de la elección del camino. Entonces tenemos:

$$\begin{align}\int_{\pi/2}^{\pi/2+i}\cos(2z)dz &=\frac{\sin(2z)}{2}|_{\pi/2}^{\pi/2+i}\\ &=\frac{\sin(\pi+2i)}{2}-\frac{\sin(\pi)}{2}\\ &=\frac{(e^{i(\frac{\pi}{2}+2i)}-e^{-i(\frac{\pi}{2}+2i)})}{4i}\\ &=\frac{e^{i\pi/2}e^{2}(e^{-4}-e^{-i\pi})}{4i}\\ &=\frac{ie^2(e^{-4}+1)}{4i}\\ &=\frac{e^{2}+e^{-2}}{4}=\frac{\cos(2i)}{2}\end{align}$$

¿Es correcto mi cálculo? Lo principal es que no estoy muy seguro de cómo plantear integrales complejas con números complejos como límites.

Answer 1

Es casi correcto. Usted tiene \begin{align}\require{cancel}\int_{\pi/2}^{\pi/2+i}\cos(2z)\,\mathrm dz&=\left.\frac{\sin(2z)}2\right|_{\pi/2}^{\pi/2+i}\\&=\frac{\sin(\pi+2i)}2-\cancel{\frac{\sin(\pi)}2}\\&=-\frac{\sin(2i)}2\end{align} desde $(\forall z\in\Bbb C):\sin(\pi+z)=-\sin(z)$ .