Si tengo una matriz A y [A|B] denota la matriz A argumentada (B atornillada a la derecha) con B.
Si reduces en filas [A|I] obtienes [I| $A^{-1}$ ] Tengo destellos mentales de por qué tiene sentido (las operaciones de fila "no hacen nada", sólo reescriben cosas) y geométricamente también tengo destellos, ¡pero no podría explicar por qué!
Ahora lo anterior es probablemente una pregunta recurrente, me gustaría saber cómo se llama, si no se puede explicar por favor dame alguna manera de buscar algo que lo hará.
La parte interesante de la pregunta
Todavía no sé hacer bien las matrices en LaTeX, además no creo que importe para la pregunta, al fin y al cabo estoy preguntando sobre el caso general.
Consideremos la matriz (3x3 en mi caso concreto) A, det(A)=1 (por lo que tiene inversa)
Entonces considera [A|B] donde B es una matriz 3x2 (3 filas, 2 columnas), si piensas en esto como 2 vectores de longitud 3, son linealmente independientes el uno del otro.
La forma de fila reducida de [A|B] es igual a $A^{-1}$ [A|B]
Ahora no soy estúpido/vago y me gusta pensar en una matriz 3xn como una lista de n vectores, y una matriz 3x3 (no singular) como una transformación lineal.
Entonces tiene sentido que $A^{-1}$ mapea el espacio de columnas (¿creo que se llama así? He llegado a esto desde el lado intuitivo, mi lado formal es débil) de A a la identidad, esto es más o menos su trabajo.
Si tiene $A^{-1}A(1,0,0)^T$ A asigna (1,0,0) a la primera columna, y $A^{-1}$ lo retira
Sin embargo, no estoy seguro de por qué la "parte B" se asigna a la misma parte de la matriz (las 2 últimas columnas) con esta transformación.
También soy capaz de visualizar 3 dimensiones, me gustaría tener confianza en esto, en lugar de utilizar el pensamiento.
