Funciones que satisfacen $f(m+f(n)) = f(m) + n$

Question

Soy un verdadero novato en lo que se refiere a las funciones, y no entiendo qué se supone que pasa o qué debo encontrar cuando me dan una pregunta tipo olimpiada relativa a las funciones. ¿Podríais ayudarme resolviendo, demostrando y explicando (estaría bien que lo hicierais) la siguiente pregunta? Gracias, cualquier ayuda se agradece.

Creo que uno de mis profesores mencionó algo sobre enchufar $m=0$ o algo así, pero... Bleh, no lo sé. Por favor, ¿ayuda?

Esta pregunta está tomada de la Olimpiada de Matemáticas de Sudáfrica de 1997.

Encontrar todas las funciones $f: \Bbb Z \to \Bbb Z $ que satisfacen

$f(m+f(n)) = f(m) + n$

para todos $m$ , $n$ que son números enteros.

Gracias :)

Gracias a todos los que me ayudaron con esta pregunta :) Ahora estoy un paso más allá en mi vida...

Answer 1

Enchufar $n=0$ , obtenemos que $$f(m+f(0))=f(m)\tag{1}$$ debe ser válida para todos los $m\in\mathbb Z$ . Ahora hay dos posibilidades.

Caso 1. $f(0)\neq 0$ .

En este caso, la ecuación $(1)$ nos dice que $f$ es una función periódica. Pero esto implicaría necesariamente que $f$ está acotado (ya que tendría que tomar sólo un número finito de valores), es decir, existe un número entero positivo $M$ tal que $-M\leq f(x)\leq M$ es válida para todos los $x\in\mathbb Z$ . Pero esto es imposible: enchufar $n = 2M+1$ en la ecuación daría como resultado $$2M\geq f(m+f(2M+1))-f(m)=2M+1$$ lo cual es absurdo; por lo tanto, este caso no se da.

Caso 2. $f(0) = 0$ .

En este caso, enchufe $m=0$ en la ecuación original. Esto nos dice que $$f(f(n))=n\tag{2}$$ debe ser válida para todos los $n\in\mathbb Z$ . Enchufar $f(n)$ en lugar de $n$ en la ecuación original y utilizando $(2)$ luego nos dice que $$f(m+n)=f(m)+f(n)$$ es válida para todos los $m,n\in\mathbb Z$ . Utilizando el argumento habitual, esto implica que $f$ es de la forma $f(x) = c x$ para alguna constante $c$ . Por $(2)$ esta constante es $1$ o $-1$ . Ambas opciones satisfacen la ecuación original.

Conclusión. Las soluciones de la ecuación vienen dadas precisamente por $f(x)=x$ y $f(x) =-x$ .

Answer 2

Claramente, $f(n) = \pm n$ es una solución. Ahora veamos si hay otras soluciones. Enchufe $n=0$ . Entonces tenemos $$f(m+f(0)) = f(m)$$ Si $f(0) \neq 0$ entonces tenemos $f$ para que sea periódica con periodo $f(0)$ . Esto significa que $f(n)$ y sólo puede tomar un número finito de valores. Enchufando $m=0$ , obtenemos que $$f(f(n)) = n + f(0)$$ que toma infinitos valores contradiciendo el hecho anterior. Por lo tanto, $f(0) = 0$ . Ahora, conecte $m=0$ para conseguir $$f(f(n)) = n$$ Por lo tanto, tenemos $$f(m+n) = f(m+f(f(n))) = f(m) + f(n)$$ Esto significa que $$f(m) = \text{constant} \times m = km$$ Esto significa que $$f(m+f(n)) = f(m) + n \implies f(m+kn) = km+n \implies km + k^2n = km +n \implies k^2n = n$$ Como esto es cierto para todos los $n$ tenemos $k^2=1$ . Por lo tanto, $k = \pm 1$ . Por lo tanto, las únicas soluciones son $$f(n) = \pm n$$

Answer 3

Sea la afirmación dada $P(m,n)$ $$P(0,n) \implies f(f(n))=n+f(0)$$ Entonces, supongamos que $f(a)=f(b)$ $$f(a)=f(b)\implies f(f(a))=f(f(b)) \Leftrightarrow a+f(0)=b+f(0) \Leftrightarrow a=b$$ Esto significa que $f$ es inyectiva (uno a uno), por lo que $f(a)=f(b)\Leftrightarrow a=b$ Ahora, $$P(0,0)\implies f(f(0))=f(0) \Leftrightarrow f(0)=0$$ Así, (por $P(0,n)$ ) $$f(f(n))=n$$ Ahora, $$P(m,f(n))\implies f(m+n)=f(m)+f(n)$$ Se trata de una conocida ecuación funcional llamada ecuación funcional de Cauchy.

Una forma de afrontarlo: $$\underbrace{f(n)+f(n)+\dots+f(n)}_\text{$ k $ times}=f(\underbrace{n+n+\dots+n}_\text{k times})$$ $$\Leftrightarrow kf(n)=f(kn)$$ y poniendo $n=1$ obtenemos $f(k)=kf(1)$ para todos $k \geq 1$

Otra forma de afrontarlo:

Dejemos que la conclusión anterior sea $H(m,n)$ $$H(1,1)\implies f(2)=2f(1)$$ $$H(2,1)\implies f(3)=f(2)+f(1)=2f(1)+f(1)=3f(1)$$ $$H(3,1)\implies f(4)=f(3)+f(1)=3f(1)+f(1)=4f(1)$$ y así sucesivamente, por simple inducción, podemos decir que

$f(x)=xf(1)$ para todos $x \geq 1$ y $f(0)=0$

Así que, para ambas formas, necesitamos extenderlo sobre los enteros negativos, demostrando que $f$ es impar. Bien, $$H(m,-m) \implies f(m)+f(-m)=0 \Leftrightarrow f(-m)=-f(m)$$ O (de otra manera) $$P(-f(n),n)\implies f(-f(n))+n=0 \Leftrightarrow f(-f(n))=-n$$ $$P(0,-f(n)) \implies f(f(-f(n)))=-f(n) \Leftrightarrow f(-n)=-f(n)$$ Así que, $f$ es impar, lo que significa que $f(x)=xf(1)$ se aplica a todos los enteros $x$

Dejemos que $f(1)=c$ dando $f(x)=cx$ sustituyendo en la ecuación original, obtenemos $$cm+{c^2}n=cm+n$$ $$\Leftrightarrow c^2=1 \implies c=\pm 1$$ Así que, $$f(x)= \pm x$$