¿Se puede conectar sin más un conjunto desconectado?

Question

Mi profesor de cálculo me ha dicho hoy que un conjunto formado por dos regiones simplemente conectadas y desconectadas entre sí (digamos, dos discos, cada uno de radio $\frac 12$ centrado en $(-1, 0)$ y $(1, 0)$ respectivamente) sigue considerándose simplemente conexa porque cada curva cerrada posible del conjunto sigue siendo contraíble a un punto, aunque no sea posible que un camino vaya de una región a la otra.

Sin embargo, Wikipedia (y esta otra pregunta aquí ) dicen que una región simplemente conectada está siempre conectada por definición, que es lo que yo pensaba inicialmente también.

¿Hay alguna peculiaridad en la definición que se me haya pasado por alto y que me haya hecho malinterpretar el término, o es que mi profesor lo utiliza de forma incorrecta?

Answer 1

El concepto de "simplemente conectado" sólo tiene sentido en un espacio conectado por caminos. Dicho esto, hay algunas definiciones que se barajan, todas ellas equivalentes para espacios conectados por trayectorias:

Definición 1 Un espacio simplemente conexo es un espacio en el que toda curva cerrada es homotópica a un punto.

Definición 2 Un espacio simplemente conectado es un espacio conectado por trayectorias en el que cada curva cerrada es homotópica a un punto.

Definición 3 Un espacio simplemente conexo es un espacio puntiagudo en el que cada camino que comienza y termina en el punto distinguido es homotópico a un mapa constante a través de una homotopía a través de caminos que todos comienzan y terminan en el punto distinguido.

La definición más utilizada en topología algebraica (donde más se utiliza este concepto) es Definición $3$ por lo que yo diría que esta definición es la "correcta". Sin embargo, como el concepto es tan simple, en cálculo o análisis real suele ser engorroso tener que introducir conceptos como espacio apuntado, por lo que la definición se acorta a definición $1$ o $2$ .

Según la definición $1$ un espacio desconectado con componentes simplemente conectadas es simplemente conectado. Según la definición $2$ Por supuesto que no. Según la definición $3$ el espacio tiene que tener un punto diferenciado, y la conectividad simple viene determinada únicamente por la componente del camino que contiene ese punto. Por tanto, según la definición actual, uno de los componentes podría ser un espacio violentamente no conectado de forma simple, como un Pendiente hawaiano , pero mientras el componente con el punto distinguido esté simplemente conectado, todo el espacio lo estará.

Permítanme reiterar que cuando hablamos de espacios simplemente conectados, en general sólo queremos preocuparnos por los espacios conectados por trayectorias, y la diferencia en todas estas definiciones realmente se reduce a cómo queremos manejar las excepciones.

Answer 2

Esto es sólo una cuestión de terminología, pero es justo decir que su profesor está cometiendo un error acerca de la terminología. La propiedad de que el conjunto desconectado $B$ no tiene un nombre muy corto: es que su grupo fundamental es trivial en cada punto base. Eso sólo significa que cada curva cerrada en $B$ puede contraerse hasta cierto punto, como dice tu profesor. Llama a esta propiedad $P$ . La razón por la que $P$ tarda tanto en nombrarse es que no es importante en relación con ser simplemente conectado . Un conjunto es simplemente conexo si no sólo tiene $P$ pero también admite un camino continuo que conecta dos puntos cualesquiera. Dado que $B$ no está conectada por caminos, no decimos que esté simplemente conectada aunque tenga la propiedad $P$ .

Para los que sepan algo de topología: la razón por la que la simple conectividad es más importante que la propiedad $P$ es que está diciendo $\pi_i$ es trivial para todo $i\leq 1$ . Esto se generaliza inmediatamente a la noción de $n$ -conexión, y $n$ -Los espacios conectados son fundamentales en topología algebraica, por ejemplo en la teoría de obstrucción, el mapa de Hurewicz entre homotopía y homología, y la construcción de torres de Postnikov. Parte de su importancia radica en que dichos espacios son débilmente equivalentes a complejos CW con un $0$ -célula y no $1,2,...,n-1$ -células.

Answer 3

Perdóname por mi post anterior.

Un espacio conectado por trayectorias es un espacio conectado ( http://topospaces.subwiki.org/wiki/Path-connected_implies_connected ), y un espacio simplemente conexo es conexo por caminos (por definición). Por lo tanto, puesto que un espacio desconectado no está conectado, un espacio desconectado no puede estar simplemente conectado. Espero que esto sirva de ayuda.