Aquí presento la siguiente demostración con el fin de recibir correcciones o cualquier tipo de sugerencia para mejorar mi manejo/conocimiento de la aritmética modular:
Demostrar que $5$ es un residuo cuadrático $(\mod p)$ con $p$ impar prime iif $p \equiv \pm 1 \mod 10$ ; demuestre también que $5$ NO es un residuo cuadrático $(\mod p)$ iif $p \equiv \pm 3 \mod 10$ .
Dim:
Para comprobar si $5$ es un residuo cuadrático $(\mod p)$ Escribo el símbolo de Legendre equivalente con la condición:
$(5/p) = 1$
Así que tengo para la reciprocidad cuadrática $(5/p) = (p/5)(-1)^{{(p-1)(5-1)}\over 4}=(p/5)(-1)^{(p-1)}$
$\bullet$ El exponente $(p-1)$ debe ser $(\mod2)$
$\bullet$ $(p/5)$ significa encontrar $p$ : $p(\mod5)$ $\rightarrow$ las opciones son $1,3(\mod5)$ porque $p$ es primo
Los módulos son coprimos $(2,5)=1$ para poder estudiar para los dos casos finales $(\mod5\times 2)=(\mod10)$
Caso $1(\mod10)$ :
Aquí $(1/5)=1$ y para el exponente $p=1(\mod2)$ por lo que el exponente $(p-1)$ debe ser par. Así que $(5/p)=1$ para $p=1(\mod10)$ sino también para $p=-1(\mod10)$
Caso $3(\mod10)$ :
Aquí $(3/5)=-1$ porque no es un residuo cuadrático, y para el exponente $p=3(\mod2)=1(\mod2)$ por lo que el exponente $(p-1)$ debe ser par. Así que $(5/p)=(-1)(1)=-1$ para $p=3(\mod10)$ sino también para $p=-3(\mod10)$
$\Box$
Agradezco cualquier tipo de crítica y corrección.
Gracias
