Sea $\Omega$ sea un dominio, entonces el siguiente operador de Stokes es bastante conocido:
$\mathcal{H} \rightarrow \mathcal{V}_{\sigma} $
$f \rightarrow u$ tal que $ - \Delta u = f $
donde $\mathcal{H}$ es el cierre en $L^2$ de $\{ \phi , \phi \in D(\Omega)^n div \phi = 0 \}$ y $ \mathcal{V}_{\sigma}$ es el cierre en $L^2$ de $\{ v \in H^1_0(\Omega)^n, \nabla \cdot v=0 \}$
Me interesa lo que ocurre cuando tomamos la condición de fuga en la frontera, es decir, cuando nos interesa el Laplaciano en el espacio $H^1_{\sigma}(\Omega)$ el cierre en $L^2$ de $\{ v \in H^1(\Omega)^n, \nabla \cdot v=0 \}$
En ese entorno tenemos términos de contorno que aparece: simplemente considerando funciones suaves entonces la identidad:
$\int_{\Omega} \Delta \Phi \cdot \phi + \int_{\Omega} \nabla \Phi : \nabla \phi = \int_{\partial \Omega} \phi \cdot \frac{\partial \Phi}{\partial n}$
sugiere que no podemos definir el Laplaciano para cualquier $u \in H^1_{\sigma}(\Omega)$ necesitamos el término $\frac{\partial \Phi}{\partial n}$ que tenga sentido para $u$ así que podríamos preguntar algo como $\nabla u_i \in H^{-\frac{1}{2}}(\Omega)$ y luego definir $-\Delta u$ en el dual de $H^1_{\sigma}(\Omega)\cap \{u \in H^1_{\sigma}(\Omega), s.t. \nabla u_i \in H^{-\frac{1}{2}}(\Omega) \}$ como $\phi \rightarrow -\sum \langle\phi_i;\nabla u_i\rangle + \int_{\Omega} \nabla u : \nabla \phi$
Pero sigue habiendo un problema importante, este operador no parece ser autoadjunto. Estoy interesado en tener algún teorema espectral que me permita construir soluciones para el problema de Stokes dependiente del tiempo sin la condición de contorno $u|_{\partial \Omega} =0$ utilizando algún método de Galerkin:
$\partial_t u - \Delta u = f + \nabla p$
$div\ u = 0$
$u \cdot n = 0 $ en $\partial \Omega$
$u_{t=0} = u_0$
¿Conocen alguna referencia bibliográfica sobre este problema que pueda leer? Para ser más específico, estoy interesado en las condiciones de contorno de Navier.
Gracias
